在过去的150年里，人们提出了许多方法来研究黎曼假设（黎曼猜想），但没有一种方法能够解决数学中最著名的开放问题。发表在《美国国家科学院院刊》(PNAS)上的一篇新论文表明，这些老方法中的一种比以前认识到的更实用。艾莫利大学(Emory University)数论学家、论文合著者肯•小野(Ken Ono)表示：令人惊讶的是，在一个简短的证明中，我们已经表明，对解黎曼假设一种虽老、被抛弃的方法不应该被遗忘。
通过简单地为旧方法构建一个合适的框架，现已经证明了一些新的定理，包括一个包含黎曼假设标准的大部分，总体框架也为其他基本悬而未决的问题开辟了途径。本文以约翰•詹森和乔治•波利亚两位20世纪最重要数学家的研究为基础。它揭示了一种计算简森多项式的方法（黎曼假设的一个公式）不是一次一个，而是一次全部。证明之美就在于它的简单，并没有发明任何新技术，也没有在数学中使用任何新对象，但为黎曼假设提供了一种新观点。任何一个相当先进的数学家都可以检验该证明，这不需要数论专家。
虽然这篇论文没有证明黎曼假设，但是它的结果包括了之前公开的由黎曼假设得出的结论，以及其他领域猜想的一些证明。这篇研究论文的共同作者是迈克尔·格里芬和拉里·罗伦——小野在埃默里大学的前研究生，现在分别在杨百翰大学和范德比尔特大学任教——以及马克斯·普朗克数学研究所的唐·扎吉尔。斯坦福大学数学家、黎曼假说专家Kannan Soundararajan说：这里所建立的结果可能被视为为黎曼假说提供了进一步的证据，而且无论如何，它都是一个美丽的独立定理。
- 这篇研究论文的灵感来自埃默里大学数学家小野健(左)为庆祝扎吉尔65岁生日而送给马克斯普朗克数学研究所唐·扎吉尔(右)的一份“礼物”：一个“玩具问题”，玩具的问题可以在他们身后的白板上看到。图片：Emory University
两年前，小野在庆祝扎吉尔65岁生日的数学会议开始前，送给扎吉尔一个“玩具问题”，作为招待扎吉尔的“礼物”。“玩具问题”是数学家们试图解决一个更大、更复杂问题的缩小版。扎吉尔将小野给他的问题描述为“一个关于涉及欧拉配分函数多项式的渐近行为的可爱问题，这是我和肯恩以及几乎所有古典数论家的老爱好。小野表示发现这个问题很难解决，我真的没想到唐会有什么进展，但他认为这个挑战非常有趣，很快他就想出了一个解决方案。
直觉是，这样的解决方案可以被设计成一个更普遍的理论，这就是数学家们最终取得的成果。格里芬说：这是一个有趣的项目，一个真正有创意的过程。研究阶段的数学往往更像是一门艺术，而不是计算，这一点在这里是肯定的。这要求我们以一种新的方式看待延森和波利亚近100年的历史。黎曼假设是7个千年难题之一，被克莱数学研究所确定为数学中最重要的开放问题，每个问题的解决者将获得100万美元的奖金。
1859年德国数学家伯恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)在一篇论文中首次提出了这一假设。他注意到质数的分布与一个分析函数的零点密切相关，这个函数后来被称为黎曼泽塔函数。假设有点拗口，但黎曼的动机很简单，他想数质数。这个假设是理解数论中最大谜团之一的一个工具——质数背后的模式。虽然素数是初等数学中定义的简单对象(任何大于1的数，除1和自身外没有正除数)，但它们的分布仍然是隐藏的。第一个质数2，是唯一的偶数。
下一个质数是3，但是质数不遵循每三个数的规律。接下来是5 7 11。随着你不断向上计数，质数很快就变得不那么频繁了。众所周知，质数有无穷多个，但它们变得越来越少，即使到了100个。事实上，在前10万个数字中，只有9592个是质数，约占9.5%。从那时起，它们很快就变得稀少了。随机取一个数并使其为质数的概率为零，这几乎从未发生过。1927年詹森和波利亚为验证黎曼假设制定了一个标准，作为释放黎曼假设阐明质数和其他数学奥秘的潜力的一步。建立简森多项式双曲性准则的问题在于它是无限的，在过去的90年里，只有少数的多项式在序列中得到了验证。
这使得数学家们放弃了这种方法，因为它太过缓慢和笨拙。在PNAS论文中，作者设计了一个概念框架，将多项式按程度组合起来。这种方法使他们能够100%地确定每一度的标准，使之前已知的少数情况黯然失色。这种方法有一种令人震惊的普遍性，因为它适用于看似无关的问题，同时，它的证明也很容易理解。数学中一些最美妙的见解需要很长时间才能实现，但一旦你看到它们，它们就会变得简单明了。尽管研究结果并不排除黎曼假设是错误的可能性，作者认为，一个完整的证据证明著名的猜想仍然是遥远的。
参考期刊《美国国家科学院院刊》
10.1073/pnas.1902572116
