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广义相对论中的行星轨道方程
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如果你曾经在极坐标系下推导
行星
在
牛顿
引力
下的方程,你会得到:
(
角
动量守恒)
(
能量
守恒)
其中L和E分别是行星的角动量和能量,利用以下这个等式可以消去t:
可以得到轨道方程:
等式两边对θ进行微商,得到:
(等式1)
把1/r看成一个整体,我们就可以解出这个常规的微分方程,得到轨道方程。
广义相对论
中的行星轨道
广义
相对论
中的能量守恒、角动量守恒与牛顿
力学
不同,此外还有一个四速归一化条件:
(能量守恒)
(角动量守恒)
(四速归一化)
其中我们采用了
光
速c=1的
自然
单位
制度,τ是固有时。我们可以利用同样的技巧消去dτ,等到方程:
同样等式两边对θ进行微商,得到:
(等式2)
在
天文
学的精确
测量
之下,我们知道行星的轨道并不是像牛顿力学预测的那样封闭的,在
太阳
系中
水
星的近日点进动
效应
最为显著。每一百年
水星
的近日点进动5600”,扣除掉岁差和其它行星摄动的影响,牛顿力学预测的进动值与真实值还差43”。
等式2相比等式1,多了一个附加项3GM/r²,而这一项正是广义相对论效应的体现,可以看成是牛顿理论的广义相对论修正项。也正是有了这一项,让我们可以解释43”的差距。感兴趣的同学可以自行解这个难度较大的非
线性
微分方程,然后就可以得到真正的轨道方程,代入
数
据就可以得到进动值。
微信
公众号:万象经验
原创:
E
Eugene
物理
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写的非常好,点赞支持一下
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jam
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9周年🎂
内容丰富,意境深刻
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jam
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