动量定理的故事

Lv.6十幺米空洞

世界是由运动的物质组成的，物质的运动形式多种多样，并在不断相互转化。正是在研究运动形式转化的过程中，人们逐渐建立起了功和能的概念。能是物质运动的普遍量度，而功是能量变化的量度。

能量概念的形成和早期发展，始终是和能量守恒定律的建立过程紧密相关的，由于对机械能、内能、电能、化学能、生物能等具体能量形式认识的发展，以及它们之间都能以一定的数量关系相互转化的逐渐被发现，才使能量守恒定律得以建立，这是一段以百年计的漫长历史过程。随着科学的发展，许多重大的新物理现象，如物质的放射性、核结构与核能、各种基本粒子等被发现，都只是给证明这一伟大定律的正确性提供了更丰富的事实。尽管有些现象在发现的当时似乎形成了对这一定律的冲击，但最后仍以这一定律的完全胜利而告终。

能量守恒定律的发现告诉我们，尽管物质世界千变万化，但这种变化决不是没有约束的，最基本的约束就是守恒律。也就是说，一切运动变化无论属于什么样的物质形式，反映什么样的物质特性，服从什么样的特定规律，都要满足一定的守恒律。物理学中的能量、动量和角动量守恒，就是物理运动所必须服从的最基本的规律，与之相比较，牛顿运动定律、麦克斯韦方程组等都低了一个层次。

动量（mv）和动能（(1/2)mv^2）都是反映物体运动状态的物理量，又都取决于运动物体的质量和速度，但是这两个物理量有着本质的区别。

动量只表达了机械运动传递的本领，它是描述物体机械运动状态的物理量。机械运动所传递的不是速度，而是物体的动量。对于给定的物体（质量不变），如果其运动的速度不同。则其机械运动传递的本领也不相同；对于不同质量的物体，即使其运动的速度相同，则其机械运动传递本领也会不相同。所以物体机械运动传递的本领不是用速度来表示，而是用动量来描述。即使动量的大小相等，由于运动的方向不同，其机械运动传递的结果也会不相同，所以动量是矢量，其方向与瞬时速度的方向一致。由于速度是状态量，所以动量也是一个状态量，通常所说的动量，总是指某一时刻或某一位置时物体的动量。

动能只表达了某一时刻物体具有的做功的本领，它也是描述物体运动状态的物理量。对于给定的物体（质量不变），如果其运动的速度的大小不同，则其做功的本领也不相同；对于不同质量的物体，即使其运动的速度相同，其做功的本领也不相同。所以运动物体做功的本领不能用速度来表示，而是用动能来描述。对于给定的物体（质量不变），当物体的运动快慢改变时。其动能也随之改变，且某时刻物体的动能仅由该时刻物体运动速度的大小来决定，跟速度的变化过程无关。不管物体的运动方向如何，只要其速度的大小不变，质量不变，物体所具有的做功的本领就相同，所以动能是一个标量。当物体的动量发生变化时，其动能不一定发生变化，而物体的动能发生变化时，其动量一定发生变化。

冲量是物体动量变化的量度。动量是表征运动状态的量，动量的增量表示物体运动状态的变化，冲量则是引起运动状态改变的原因，并且是动量变化的量度。动量定理描述的是一个过程，在此过程中，由于物体受到冲量的作用，导致物体的动量发生变化。

一、动量定理是牛顿第二定律原来采用的形式

在牛顿提出运动第二定律之前，伽利略在批判亚里士多德的力与速度的依赖关系的基础上，提出了力与加速度的依赖关系，但是他没有也不可能在当时的条件下发现作用力与加速度之间的定量关系。在1684年8月之后，牛顿用几何法和极限概念论证了引力平方反比律，在为解决万有引力是否跟质量成正比的问题时，他发现了运动第二定律，具体的记载有两处，一处是在《论物体的运动》一文手稿中写道：“…动力与加速度的力之比等于运动与速度之比。因为运动的量是由速度乘以物质的量导出的…”。另一处是在《自然哲学的数学原理》的定义Ⅷ中给出的：“因为运动的量是由速度乘以物质的量求出来的，并且动力是由加速度的力乘以同一物质之量求出来的，物体的几个粒子上的加速的力的作用总和就是整个物体的动力”。上面两段话中，“加速的力”指的是加速度，“运动”“运动的量”指的是动量，“动力”指的是与加速度对应的作用力，“物体” “物质的量”就是质量。由此可知，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中已明确提出动量的定义：“运动的量是用它的速度和质量一起来量度的”，“并把动量的变化率称之为力”，“他又用动量来表述运动第二定律”。综上所述，牛顿其实已经提出了运动第二定律的文字表述：作用力与加速度成正比。但当时牛顿并没有明确地用公式（F＝ma）表述出来，牛顿第二定律原来采用的形式是F=Kd(mv)/dt。

力F、质量m、速度v和时间t这四个物理量，选择适当的单位，可使比例系数k＝1，这时，牛顿第二定律可表示为

F=d(mv)/dt ①

因此，牛顿第二运动定律的真实表述应该是物体所受外力等于其动量对时间的变化率。①式也叫做牛顿第二定律的微分形式。《自然哲学的数学原理》已经提出了作用力与加速度成正比，但当时牛顿并没有将公式①直接用F＝ma表述出来，这是为什么呢？我国研究牛顿的资深学者阎康年先生在他的专著《牛顿的科学发现与科学思想》中专门研究了牛顿的质量观：“牛顿对质量概念的认识分静质量和动质量两个方面。静质量就是牛顿在《自然哲学的数学原理》中所说的由物体的重量知道的，并与其重量成比例的物质之量；动质量就是牛顿说的物质得以继续保持其运动状态而对外力反抗的一种内在固有的力。”这就是说牛顿知道物体的质量也是个变量，只是在当时牛顿还不可能提出静质量和动质量的概念，因此牛顿没有将m从微分号中拿出来。“也许在那时，牛顿就在冥冥之中预感到物理学未来的发展，于是就在自己的伟大发现中留下了一条耐人寻味的退路。”

奥地利科学家马赫为了普及、推广牛顿力学的应用，改写了牛顿第二定律的形式，他把质量m从微分号内提了出来，免去了微分运算，并把牛顿第二定律表述为

F＝ma　 ②

用力F，加速度a与质量m等概念来表述牛顿第二定律，将牛顿第二定律通俗化，使具有初等数学水平的人也可以掌握。这样做，对牛顿第二定律的普及和推广确实起到了巨大的推动作用，但同时因马赫把质量m当做常量而给后人准确地理解牛顿第二定律，特别是理解牛顿力学与狭义相对论间的正确关系造成了深远的影响。

二、在经典力学中F＝ma与动量定理是完全等效的

①式既是牛顿第二定律原来采用的表达式，又是动量定理的微分表达式。由此可见，质点的动量定理就是牛顿第二定律原来采用的形式。对于单个质点，当力F和质量m恒定不变时，设t＝t₂－t₁，得

Ft＝mv2－mv1 ③

对于由N个质点组成的质点系，质点系的内力只能引起各个质点的动量变化，不能引起总动量的变化。

在经典力学范围内，因为质量m恒定不变，牛顿第二定律F＝ma与动量定理Ft＝mv2－mv1，是完全等效的，动量定理是从动量的角度对牛顿第二定律进行表述。在相对论力学中，质点的相对论质量（简称动质量）随质点速率的增大而增大。当v远远地小于光速c时，可认为质点的质量不变，这时动量定理与牛顿第二定律是等效的。牛顿第二定律的两种形式也是等效的。当v接近到c时，F＝ma和Ft＝mv2－mv1，不再成立，但牛顿第二定律（或动量定理）的微分形式仍然成立。由此可见，F=d(mv)/dt比F＝ma和Ft＝mv2－mv1具有更广泛的适用性和更普遍的意义。

动量定理的微分形式其实也是牛顿第二定律的另一种表述，牛顿第二定律和动量定理都反映了外力作用与物体运动状态变化的因果关系。但动量定理的积分形式比牛顿第二定律的经典形式F＝ma赋予了新的内涵。牛顿第二定律是牛顿力学的核心内容，它揭示了力是产生加速度的原因，力的作用效果是使物体产生加速度，并用ma来量度力F的作用效果；揭示了加速度跟力的瞬时关系，即加速度跟力即时（同时产生、同时变化、同时消失）、正比、同向；揭示了合外力的大小和方向决定了物体动量变化快慢的规律。

动量定理则揭示了冲量是引起运动状态改变的原因，物体由于受到冲量的作用，导致物体动量的变化，并用冲量来量度物体动量的变化，即冲量决定了物体动量变化的多少，作用在质点上的合外力冲量的矢量和或各外力冲量的矢量和等于质点动量的增量；揭示了一个物理过程中各物理量间的过程关系；揭示了力作用一段时间的过程中，合外力的冲量与物体初、末的动量变化间的矢量关系。

三、牛顿第二定律的微分形式与狭义相对论动力学方程是一致的

在相对论力学中，力也是被定义为动量p对时间的变化率，这和①式实际上是一致的，只是由于受当时条件的限制，牛顿不可能清楚地知道静质量与动质量之间的区别和精确的定量关系，但是在他的脑海里是清楚地知道，一个物体的速度是和它的质量存在某种联系，因此有人大胆地断言：“动质量和速度构成统一变量的思想是牛顿力学中辩证法的灵魂，也是牛顿力学中早就蕴涵的相对论因素”。

四、动量定理Ft＝mv2－mv1，比牛顿第二定律F＝ma更具有普遍意义

动量定理与牛顿第二定律相比较，有其独特的优点：在公式Ft＝mv2－mv1中，只涉及两个状态量mv1和mv2，及一个过程量F·t，至于这两个状态中间是怎样的过程，轨迹怎样，加速度怎样，位移怎样全不考虑。在力F作用的过程中不管物体是做直线运动还是曲线运动，动量定理总是适用的。动量定理除了用来解决在恒力持续作用下的问题外，尤其适合用来解决变力问题，对涉及冲力、碰撞、反冲运动的问题，由于力和加速度在极短的时间内急剧变化，不便于用牛顿第二定律求解，而可以用动量定理来处理。当物体在运动过程中所受的力不同时，则用动量定理求解更简捷。因此从某种意义上讲，应用动量定理解题比牛顿第二定律更直接，更简单，适用性更强。

五、牛顿第二定律和动量定理只适用于惯性参考系

在自然界中，不是所有的力学规律在任何参考系中都成立，因此研究力学问题要选择参考系。同样，牛顿第二定律和动量定理并不是在任意参考系中都是适用的，因此应用牛顿第二定律和动量定理时，参考系不能任意选择。