量子力学基础课（中）

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科普驿站  第55期

主题：量子力学基础课（中）

科目：物理

难度：B2

时间：2020.2.26-3.28

讲师：咕咕叶

海森伯不确定性原理

在经典力学中，质点的运动都沿着一定的轨道，在轨道上的任意一点都有确定的位置合动量。在牛顿力学体系中，我们也正是用位置和动量来描述一个质点在任一时刻的运动状态的。

在量子力学中，由于粒子的粒子性，我们可以谈论它的位置和动量。但由于其波动性，它的空间位置需要使用概率波来描述，而概率波只能给出粒子在各处出现的概率。因此，粒子在任一时刻都不具有确定的位置。与此相联系，粒子在各时刻也不具有确定的动量。粒子的动量和其位置遵循以下规律：

∆x∆p≥h/4π

其中∆x是粒子位置的不确定量，∆p是粒子动量的不确定量，h为普朗克常量。

依照电子单缝衍射实验来粗略推导不确定关系。

如图所示，我们考虑一个电子在通过缝隙时发生衍射的状况。由于德布罗意波的概率特征，我们不能说电子是从缝中的哪一点通过的，而只能说它是从宽为∆x的缝中通过的。因此，电子在x方向上位置的不确定量就是∆x。

给定电子具有一个动量p，将矢量p进行分解，可以得到，p在x方向上的分量为p_x。由于过缝前，p_x=0，而过缝后p_x便发生了变化。因此，p_x受以下不等式约束：

0≤p_x≤psinθ_1

则动量p在x方向上的不确定量为

∆p_x=psinθ_1

考虑到衍射条纹的次级极大，即电子在如图虚线外部分的概率幅不为0，应改写为

∆p_x≥psinθ_1

由单缝衍射公式可得，第一级暗纹中心的角位置

θ_1=arcsin λ/∆x

又根据德布罗意波长

λ=h/p

可得

sinθ_1=h/p∆x

将此式代入整理可得

∆x∆p_x≥h

更一般的理论给出

∆x∆p_x≥h/4π

引入另一个常用的量，即约化普朗克常量

ℏ=h/2π=1.0545887×10^(-34) J∙s

上式通常改写为

∆x∆p_x≥ℏ/2

这就是位置坐标与动量的不确定关系。观察式子，左侧为动量与位置的不确定量，式子右侧为一常数，这说明动量与位置的不确定量呈反比。在测量一个粒子的位置或动量时，其中一个量测得越精准，另一个量就越模糊。又因为两个不确定量都不能为0，所以对粒子动量和位置测量的精度存在一个不可逾越的极限。

不确定性原理是海森伯于1927年给出的，它的根源是波粒二象性。费曼曾把它称为“自然界的根本属性”。事实上，所有物质的量子力学理论都有赖于不确定性原理的正确性。

除了位置和动量的不确定关系以外，对粒子的行为说明常常还用到能量和时间的不确定关系，下面简略看一下推导过程。

采用非相对论形式下的能量-动量关系。考虑一个粒子用一个波包来描述，波包宽度为∆x，群速度为v，相当于经典粒子的运动速度。波包掠过空间某点所需的时间为Δt=Δx/v。因其动量不确定度为

∆p≥ℏ/2∆x

其能量不确定度为

∆E≈∂E/∂p ∆p=∂(p^2/2m)/∂p ∆p=v∆p

所以

∆E∆t≈∆x/v v∆p=∆x∆p≥ℏ/2

∆E∆t≥ℏ/2

这就是关于能量与时间的不确定关系。在做数量级估算时，往往用ℏ代替ℏ/2。

薛定谔方程

在经典力学中，在给定的已知条件下，质点的运动是唯一确定的，它们都统一遵守牛顿三大定律。

在经典力学中，一个质点的基本动力学方程是牛顿第二定律的方程

据此，我们可以对任一粒子的行为进行计算模拟。但是在量子力学中，粒子具有波粒二象性，因此我们不能再单一地用方程对粒子的粒子性进行矢量描述了——我们还需要考虑粒子相对应德布罗意波的波函数。

1925年，德拜让他的学生薛定谔作一个有关德布罗意波的学术报告。报告后，德拜提醒薛定谔：“对于波，应当有一个波动方程。”薛定谔此前就曾注意到爱因斯坦对德布罗意假设的评论，此时又受到了德拜的鼓励，于是就努力钻研。几个月后，他就向世人拿出了一个波动方程，这就是薛定谔方程——量子力学的基本动力学方程。

作为一个基本方程，它不能由其他更基本的方程推导出来，而只能通过某种方式建立起来。在介绍薛定谔当初是如何“猜”和“凑”出方程的之前，我们先看看薛定谔方程的一维形式

-ℏ^2/2m  (∂^2 Ψ)/(∂x^2 )+U(x,t)Ψ=iℏ ∂Ψ/∂t

式中，Ψ=Ψ(x,t)是质量为m的粒子在势场U=U(x,t)中运动的波函数。由于式中时间t也是一个变量，我们先不全面讨论这样的含时薛定谔方程，下面只讨论在恒定势场U=U(x)中运动的情形。接下来简单看一下数学过程。

作为波函数，它应当是包含时间的周期函数，因此波函数应有以下形式

Ψ(x,t)=ψ(x) e^((-iEt)⁄ℏ)

观察形式，式子右侧为波函数空间部分与时间部分的乘积。

将此式代入薛定谔方程，可知波函数的空间部分应当满足的方程为

-ℏ^2/2m  (∂^2 ψ)/(∂x^2 )+Uψ=Eψ

此方程不含时间因子，称为定态薛定谔方程，其中ψ=ψ(x)叫做粒子的定态波函数，它描述的粒子状态叫定态。

关于薛定谔方程，有两点条件需要说明。

1、它是线性微分方程。这就意味着作为它们的解的波函数或概率幅都满足叠加原理。

2、从数学上来说，对于任何能量E的值，方程都有解，但并非所有解都具有物理意义。作为有物理意义的波函数，这些解必须是单值的，连续的，有限的。

令人惊奇的是，根据这些条件，薛定谔方程可以“顺理成章地”得到微观粒子量子化的条件。这些量子化条件在普朗克和玻尔那里都是“强加”给微观系统的假设。

对于粒子的三维运动，通常使用薛定谔方程的球坐标形式

-ℏ^2/2m [(∂^2 ψ)/(∂r^2 )+2/r  ∂ψ/∂r+1/(r^2 sinθ)  ∂/∂θ (sinθ ∂ψ/∂θ)+1/(r^2 〖sin〗^2 θ)  (∂^2 ψ)/(∂φ^2 )]+Uψ=Eψ

其中r为粒子的径矢的大小，θ为极角，φ为方位角。

下面介绍薛定谔建立方程的大致过程：

薛定谔注意到，德布罗意波的相速度与群速度（非相对论情形）的区别。德布罗意波的相速度为

u=λν=E/p=E/√(2mE_k )=E/√(2m(E-U) )

其中m为粒子的质量，E为粒子的总能量，U=U(x,y,z)为粒子在给定的保守场中的势能。对于一个波，薛定谔假设其含时的波函数通过一个振动因子

exp[-iωt]=exp[-2πiνt]=exp[-2πi E/h t]=exp[-i E/ℏ t]

和时间t有关，于是有

Ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)exp[-i E/ℏ t]

下面就一维情形进行讨论。

由此式可得粒子的概率密度为

|Ψ|^2=ΨΨ^*=ψ(x) e^((-iEt)⁄ℏ) ψ(x) e^(iEt⁄ℏ)=|ψ(x)|^2

此概率密度与时间无关，因此上面得出的ψ=ψ(x)为粒子的定态波函数。

将以上式子代入波动方程的一般形式

(∂^2 Ψ)/(∂x^2 )=1/u^2   (∂^2 Ψ)/(∂t^2 )

稍加整理可得

-ℏ^2/2m  (∂^2 ψ)/(∂x^2 )+Uψ=Eψ

由于ψ=ψ(x)为粒子的定态波函数，则以上微分方程就是粒子的定态薛定谔方程。

原子系统可以从一个定态转变到另一个定态。例如在氢原子的发光过程中，原子的能量E将发生变化。薛定谔注意到这种随时间的变化，因此认为这时E不应该出现在方程中，于是可将粒子的定态波函数换写为

ψ(x)=Ψe^(iEt⁄ℏ)

将此式代入定态薛定谔方程，得到

-ℏ^2/2m  (∂^2 Ψ)/(∂x^2 )+UΨ=EΨ

又因为

EΨ=iℏ ∂Ψ/∂t

则可得到

-ℏ^2/2m  (∂^2 Ψ)/(∂x^2 )+UΨ=iℏ ∂Ψ/∂t

式中的U也可推广至时间t的函数U(x,t)，这便是含时薛定谔方程。

参考引源：

《大学物理学》(张三慧等),《新概念物理教程》（赵凯华等）,Feynman Lectures on Physics, Learning Notes on Quantum Mechanics(Leng Xuan),Introduction to Quantum Mechanics(David J. Griffiths),Wikipedia,bilibili等。

图片来源：

百度图片,Google Images, 《大学物理学》(张三慧等)。

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