通过精确的几何计算，菲利普·吉布斯（ Philip Gibbs）为任何可能的形状找到了已知的最小万有覆叠空间。菲利普·吉布斯不是专业数学家，因此当他想要仔细思考一个问题时，他就会去寻找一个即使是业余爱好者也能发挥作用的问题。他所寻找的问题是一种挑战，即使是最苛刻的人也会被它逼疯。在今年的一篇论文中，吉布斯在研究一个100年之久的问题上取得了重大突破。这个问题能精确测量原子尺度下的面积。法国数学家亨利•勒贝格（Henri Lebesgue）在1914年写给朋友朱利叶斯•帕尔（Julius Pál）一封信中提出的这一问题：什么形状面积最小，可以完全覆叠其他形状(这些形状都有一个共同的特点)？
像六边形这样的万有覆叠空间可以覆叠任何形状的物体。图片：DVDP for Quanta Magazine
从那以后的一个世纪里，勒贝格提出的“万有覆叠空间”问题变成了一个捕鼠器：无论何时到来，都是惊人的速度进步。相比之下，吉布斯的进步相当惊人，尽管你仍然需要眯着眼睛才能看到。想象一打大小形状各异的剪纸躺在你的地板上，你被要求设计出一种大小刚好能够覆叠这12种形状中的任何一种的形状。通过叠加和旋转它们，你可以凭自己的感觉来解决问题。但是当你找到了一个“通用”的覆盖面，你怎么知道它的面积最小呢？这就是勒贝格的普遍覆盖问题的精神所在，它考虑的是没有两个点相距超过一个单位的形状，圆形明显是最符合的，但还有很多其他形状也符合条件：等边三角形、正五边形、六边形和勒鲁三角。形状的多样性使得他们很难找到最小的覆叠空间。
图片：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine
在收到勒贝格的来信后不久，帕尔意识到正六边形是一个万有覆叠空间，而后他又注意从六边形上切下两个非连续的角的形状，不仅面积变得更小，而且仍然是一个万有覆叠空间。取一个六边形，把它层在另一个六边形的上面，把第二个角旋转30度，就能切掉两个角。在接下来的80年里，另外两位数学家从帕尔的万有覆叠空间上发现了一些线索。1936年罗兰·斯普拉格(Roland Sprague)拆除了角落附近的部分；1992年h·c·汉森(h.c. Hansen)从右下角和左下角移走了两个小得难以察觉的部分。汉森的面积节约传达了一些关于发现的信息，但不可避免地会误导人们对面积的理解：他们裁去部分的面积是0.00000000004单位。
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加州大学河滨分校的数学家约翰·贝兹说：你不能真正按比例画出它们，因为它们是原子大小的碎片。2013年贝兹(Baez)在他颇受欢迎的数学博客上写了一篇关于勒贝格环球采访问题的文章，把这个晦涩难懂的问题提了出来，承认他对这个问题很感兴趣。贝兹写道：我对这个问题的全部兴趣相当病态，我不知道为什么这个问题如此重要。我不认为它与其他许多美妙的数学有关。我很钦佩从事这项工作的人，就像我很钦佩那些决定在南极滑雪的人一样。菲利普·吉布斯从未在南极滑过雪，但他确实读过贝兹的博客。当他看到关于勒贝格环球掩盖问题的帖子时，他想这正是我要找的东西。
1、原子剪刀
吉布斯小时候就想成为一名科学家，他在剑桥大学获得数学学士学位，在格拉斯哥大学获得理论物理学博士学位。但他很快就失去了对学术研究的热情，转而成为了一名软件工程师。2006年退休之前，他曾从事船舶设计、空中交通控制和金融系统方面的工作。吉布斯仍然对学术问题感兴趣，但作为一名非专业研究人员，他做不了什么。作为一名独立的科学家，很难跟上所有正在发生的事情，但如果你找到了合适的利基市场，你可以专注一件事情，得出一些有用的结果。勒贝格的普遍覆盖问题就是一个小众问题，这个问题从来没有引起数学家的注意，所以吉布斯怀疑自己是否能取得进展。吉布斯打算利用自己的编程背景来获得优势，一直在尝试让电脑解决一些实验数学的问题。
业余数学家菲利普·吉布斯利用指南针和量角器技术，缩小了已知的万有覆叠空间面积。图片：Courtesy of Philip Gibbs
2014年吉布斯对200个随机生成的直径为1的形状进行了计算机模拟。这些模拟结果表明，他或许能够修剪上一个最小万有覆叠空间顶部角落的一些区域。他把这段引线变成了一种证据，证明新外壳适用于所有可能的直径为1的形状。吉布斯把证明寄给了贝兹，贝兹和他的一名本科生卡琳·巴格达萨林(Karine Bagdasaryan)一起工作，帮助吉布斯把证明修改成更正式的数学形式。他们三人于2015年2月发表了这篇文章，把最小的通用覆盖面积从0.8441377减少到0.8441153。虽然仅减少了0.0000224单位，但这几乎是汉森1992年减少面积的100万倍。吉布斯相信他能做得更好，在10月份发布的一篇论文中，他又剪掉了最小覆盖面积的另一块相对较大的部分，使其面积降至0.84409359个单位。
图片：Source: Philip Gibbs
他的策略是将所有直径为1的形状都移到几年前他发现万有覆叠空间的一角，然后移走另一角的任何剩余区域。这一方面被证明是精确的。吉布斯使用的技术来自欧几里德几何，但他必须精确地执行，让任何一个高中生都能明白。就数学而言，这只是高中的几何问题，但它几乎让人狂热。目前吉布斯还在继续寻找最小的通用遮盖面。对贝兹来说，他希望吉布斯对勒贝格问题的重新关注能激发其他数学家的兴趣，让现代数学技术的研究工具更加完善。解决这个问题的正确方法可能涉及非常不同的想法，尽管我不知道这些想法具体是什么。
