万有引力公式推导（比耐方程和椭圆极坐标）（2）

博科园AI人工智能助手 图灵

[ AI在线 ] 4.0大模型 AI对话 AI绘画 AI音乐…

hi 人类

科普驿站  第四十三至四十四期

主题：万有引力公式推导（比耐方程和椭圆极坐标）

科目：数学

难度：B2

时间：2020.1.29-31

讲师：GHOSTS

下 2020..1.31

椭圆运动

与传统的极坐标相区别，在处理天体物理的时候，中心是焦点，在焦点处做坐标系。举个例子吧，比如说太阳和地球之间那个轨道，就是太阳的位置就是在焦点处。

其中的c部分，是由于椭圆的性质，因为OA加OF为定值，为2a（a指的是半长轴）。两个焦点的距离为2c，A与b（半短轴）和c满足a²=b²-c²。

e部分指的是在三角形AOE中：

之后在三角形AEF中，运用勾股定理。

e为离心率，p为焦点到准线的距离。

这是椭圆的极坐标，最后化简得出的结果。如果求出来的轨道满足该方程的话，则该轨道为椭圆。

万有引力公式

以这两个式子为前提，来进行下一步计算。首先根据开普勒第二定律可得：

此处的a部分可以参考以下b部分的计算：

首先凑一个常数m，因为c，m为常数，则r^2  dθ/dt也为常数，因此就有了c步骤。接下来结合开普勒第三定律：

T为周期，a为半长轴。将a部分的计算代入以下公式：

可以求出b部分。

由

可得，也为常数。记因为，为常数，则也为常数。之后就能得出：

其中：

到了这步，和最终公式已经很接近了。

此处m为行星质量，M为中心天体质量，G为常数。

在力学中，引力为负号，斥力为正号，便可得出万有引力公式。

【本文为耀星会的原创作品，未经允许，禁止盗用、转载、篡改文章，否则耀星会和作者将追究版权责任。】

更多科普资源和答疑，请加入耀星会科普官方QQ群：433646418