浅析质数与黎曼ζ函数的关系

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hi 人类

朋友们，大家好。笔者即将开学，在繁重的学业压力下想来没有太多时间精力，也没有足够的学识去肝深度的黎曼猜想。思来想去，还是决定发这一篇科普性质的文章，从 ζ 函数本身以及 ζ (2) 的计算两个切口去瞧瞧 ζ 函数与素数的关系。希望读者能够谅解，谢谢。

1、调和级数与质数个数间的关系

话说欧拉大神一天闲的无聊，想用自己的方法证明质数的个数有无限个，他想到：如果用 p 来表示质数，那就可以构造等比数列，将其求和，就有

如果用 表示第 n 个质数，那么对所有求乘积得，

由质数的定义我们知道，所有的正整数由 1, 质数，以及质数间的乘积构成。所以，上述计算式的结果是就是分母中包含所有正整数的调和级数，即

由于调和级数是发散的，而对于每一个 ，都有，所以每个都会收敛到，如果质数只有有限个，那么左式将只有有限个常数相乘，这与调和级数发散的结论不符，因此可以推出，质数有无限个。

2、欧拉的推广 (该内容参考自妈咪说 Mommy Talk@www.bilibili.com)

欧拉通过上面的推导得到了如下等式

更进一步，他想到，如果以替换，则可以得到

于是，欧拉定义，

同时，欧拉大神又想到，如果构造，并用减去，就得到

上述操作如同一个筛子，把分母中含2的倍数的项筛掉了。对上式用如法炮制，得

再用进行操作，得

……

这项操作有一个形象的名字，叫质数筛。当对所有质数进行上述操作后，，分母中所有质数及其倍数都被筛掉，等式右边只剩下 1 s 这一项，我们

就得到了大名鼎鼎的欧拉乘积公式

或

3、（巴赛尔问题）的求解及应用

巴塞尔问题是数学史上一个著名的问题，曾难倒约翰·伯努利、雅各布·

伯努利等一系列著名科学家，后由欧拉首次给出正确答案。笔者也希望，这个有名的问题为更多人所知。在这里，笔者给出三种解法，都只需要中学的数学基础知识，但是思维难度不一而同，由易到难，请各水平的读者按需取食。

方法一：对于函数 sin(x) 进行泰勒展开, 有

所以，

同时，我们又知道，函数 sin(x) 的根是 ，所以，我们能得到sin(x) 的另一个形式，即

为了使上下两式相等，对比常数项系数，可得

即

将 A 的值带回原式中，可得：

对比上式与泰勒展开式的二次项系数，可得

解得，

法二：复数积分的证明（此法由 Dennis C.Russel 给出）

考虑积分

由欧拉恒等式得:

代入上式得，

由对数函数性质可将上式变形得，

计算可得，

对函数 f (x) = ln(1 + x) 进行泰勒展开，可得

代入,得

所以，

由于， 所以上式可变形为

而我们知道，

我们又推出，

因为等式左边是实数，等式右边是纯虚数，所以惟有等式两边都等于 0 等式才可以成立，所以解得，

法三：用三角函数的知识求解（此法由 Ioannis Papadimitrion 于 1973年在 American Math Monthly 中给出）

先证明一个引理：若令，则有

证明：

即

令 n = 2m + 1, 则有

为以下方程的根

由韦达定理得，

引理证毕

同时，由不等式得，

所以，

化简得，

令，得，

最后，我们来解一道题玩玩，

若从所有正整数中任取两个，问他们互质的概率？（该问题及解答来自孙健老师的视频，视频地址：https://b23.tv/eE0xNb)

不妨设所求的概率为 x，两个正整数 m,n 之间的最大公因子是 k,我们来研究 k 的性质，对于在所有正整数中任意抽取出两个数，并且两数

都是 k 的倍数的概率，我们知道大概是

同时，因为

所以抽取到两个正整数的最大公因数是 k 的概率是

那么，我们就可以得到方程

解得，

写在最后：短短续续的，笔者终于把自己挖的坑填上了。也相信这篇文章能达到笔者的愿想，从一些角度去侧面窥探 ζ 函数与质数间的关系。其

实，不经过深挖与思索，很难看出，这个级数会与质数以及圆周率π有千丝万缕的联系。但是，数学之美是上帝早就设计好的，只等待我们去不停的发掘。黎曼 ζ 函数是属于复分析领域的内容，而黎曼大神，也是复分析现代形式的创立者。如果这篇文章能够让读者更多的窥探 ζ 函数与质数的关系，激发读者对于数学的兴趣，那它的目的，也就达到了。

最后，放一张 ζ 函数美丽的函数图像：

谢谢！