世界背后的抓手——正态分布

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正态分布，英文名 normal distribution，意为“正常的分布”，台湾省将其译为“常态分布”。它是如此之“正常”，以致于渗透到我们生活的方方面面。上至九天星河的光度分布，下至气体分子的运动速率，无不服从正态分布。它可以说，是世界背后的抓手之一。为此，我们来进一步了解正态分布。

话说数学王子高斯在写作《天体运动论》时发现手头上的观测数据存在误差。他想知道误差服从什么样的分布函数，为此展开了下列推导。

设误差分布的概率密度函数为 f (x), 高斯手中的观测数据分别为

真实值为

则出现眼前情况的概率为

（ps:1、由于眼前已经出现了这种情况，所以我们认为这种情况出现的概率最大。所以，在之后的数学处理中，我们将千方百计地使得 p 取更大的值。

         2、高斯认为，偶然误差可以通过多次测量求平均值来抵消，即

我们由生活经验可知其正确性及可靠性。）

对于函数

显然，当 取最大值。则对取对数，有

所以，

令

则有

令 i = 2, 得：

即 g (x) 为奇函数

同理，令i=3,得：

若令

结合g(x)为奇函数的推论，可得

所以，g (x)满足柯西方程，易得，

即

由概率密度函数的性质可知，

所以，c < 0，

即

（为了使思维连贯，这里直接运用了高斯积分的结论，的结论，其详细推导则放在文末）

由此可得，

即

回到函数 ln(L(x)) 中，则有

我们要千方百计地使其取到最大值，而就目前的信息来看，只知道 c < 0, 所

以，不妨将 视作以 c 为自变量的函数 h(c)，则有

令其为零，可得

（其中 σ 指标准差）则 f (x) 可改写为

(请注意，这里的自标量 x 指的是随机误差) 若以 µ 代表观测数据的真实值（平均值）x 0 , 并以 x − µ 替换 x, 那么替换后的自变量 x 即为观测值。到这

里，就得到了课本中的正态分布表达式

终于推出了正态分布的表达式，接下来简单地介绍正态分布的一些性质。

1、正态分布式“正常”的分布，它渗透于我们生产生活的方方面面。工人的生产效率，学生的考试成绩，全国各市的汽车价格分布等等等等，在样

本容量足够大，代表性足够强时都服从正态分布。基于此，我们可以很方便地估计手头的数据在整体中的地位。比如，某软件测得部分电脑的开机时间，就可以据此建立正态分布的模型，并根据用户的开机时长估计它能战胜全国百分之多少的用户。

2、正态分布的平均值即为其数学期望。我们知道，数学期望代表的是事件的长期价值，而在正态分布中，平均值即为数学期望。为此，我们经常用平均值，而非极端值衡量整体在某一方面水平的高低。如用平均分衡量学校的教学能力，用平均薪金刻画单位的工薪水平等。当脱离了正态分布的背景后，平均值将失去刻画整体水平高低的能力。例如，比尔·盖茨与九个乞丐组成的集团人均资产超过百亿，这种资产分布显然不符合正态分布，平均值也失去了其衡量整体资产的意义。

3、在正态分布中，大部分随机变量都集中在平均值 µ 附近，极端数据占比极小

。这就使正态分布具有很强的稳定性，即抵抗极端数据影响的能力。就比如说，广东省一车主购入一辆劳斯莱斯银魅（15.5 亿），也不会对全省汽车价格的平均值造成很剧烈的影响。

最后，高斯积分大放送。对于积分

我们有

由于 x,y 是在各自的积分空间中积分，没有相互影响，因此上式可作如下变形

将直角坐标转换到极坐标，则有

并且，(dx)*(dy) 在直角坐标系中可以指任意该坐标平面中的任意一块面积微元，而在极坐标中，任意一块面积微元的表示方法为 r ∗ dρ ∗ dθ 如下图所示

接下来是积分上下限的问题，在直角坐标中，x 和 y 的积分上下限分别都是正无穷和负无穷，并对于任意 x 和 y, 都只积了一遍，也就是把整个

坐标平面扫了一遍。在极坐标中，为了达到同样的效果，则必须 r 的积分上下限分别是正无穷和 0，θ 的积分上下限分别是 2π 和 0。

因此，我们有

接下来是运算，

所以，

高斯积分放送完毕！！！！！！！！！！！！！

参考资料：

1、MATHSING 正态分布的推导 

参考资料：

1、MATHSING 正态分布的推导 _哔哩哔哩_bilibili

2、回到 2049 【2049 日报】S05E352 正态分布_哔哩哔哩_bilibili

3、蓝德岗的猫 【高斯积分】积分 e ( −x 2 ) 从负无穷到正无穷_哔哩哔哩_bilibili 

呼，终于写完了，敲这种东西可不轻松呀