你真的会算圆周率吗？

Lv.23细胞核

爱因斯坦

历史上，人们是这样计算圆周率的。

第一类方法：实验方法。

用量具测量出圆的周长与直径，然后做除法运算。

这类方法有一个优点和一个缺点。

优点：使用这种方法几乎不需要智商。

缺点：精度实在太低，并且误差不可控。

第二类方法：几何方法。

数学正在发展，人们对几何的认识也越来越深，于是人们开始从数学理论上去计算，摆脱了实验方法所带来的机械误差。

这种方法也有一个优点和一个缺点。

优点：可以确定圆周率所在区间，即误差可控，并且不需要做实验，完全没有机械误差。

缺点：几何方法需要频繁地对多位数进行开方，没有机械误差但是有计算误差。

第三类方法：分析方法。

从17世纪开始，人计算圆周率便开始使用无穷积、无穷和、无穷连分等各种无穷表达式。虽然计算误差无法避免，但是此类计算方法可以带到800多位圆周率。例如泰勒级数：

根据泰勒级数我们可以将反三角函数展开，就得到了

从而得到了

当然，这个式子收敛的极其慢，并不适合计算圆周率，这里仅仅是做理论来说明。

可能有人会问，有没有可以快速收敛的式子，当然有，不过收敛的越快，这个式子就越复杂，例如拉马努金的式子（如下）

或许你觉得拉马努金的式子已经很复杂了，那么请看下面这个式子

这个公式（Chudnovsky公式）曾经用来破计算圆周率精度的世界纪录，每算一项得到14个有效数字，是最快的计算 $你真的会算圆周率吗？$ 的无穷级数公式之一。

最后我们在欣赏一下拉马努金其他的充满克鲁苏风格的公式

包含级数形式：

包含积分形式：

包含连分形式：

关于这些定理哈代后来写道：使我束手无策。我连稍微有点像它的任何东西都从未见过。只需看一下它们，就知道它们只能是出自最高级的数学家之手。”

然后，哈代又以自己特有的激动心情继续写道：“它们一定是正确的。如果不正确，谁也不会有这样高的想像力去想出它们。”

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