科普驿站 第二十五期
难度： C1
时间：2019.10.19
讲师：弦轴子
接着我们来简单讲一下，从这个理论是如何预测出这种背景辐射的。
在这个公式中，
代表的是普朗克常量，
代表的是玻尔兹曼常量，
主要代表着时刻
时的宇宙标度，
是物质在时刻t的温度，
是在时刻t对应频率为v的光子的吸收率。而
是考虑受激辐射时，在时刻t存在频率为
的光子存在到现在的几率，定义为：
剩余光子的固有能量密度这个公式中的积分下限可以取任意一个使得这个光子存留几率可忽略的时刻，令这个时刻为零。
考虑这一点，那么这个光子的固有能量密度就可以重新写一下:
光子存留几率P从t=0之时，P=0一直增加到
时刻的P=1，这就是普朗克黑体分布的加权平均。
如果考虑在某个时刻 ，不透明度开始下降并且趋势很陡，那么在这个时刻，光子存留几率就类似于一个阶梯函数，考虑这种情况，上面的光子固有能量密度就可以改写成这样：
所以在不透明度陡峭下降的假设之下，微波背景辐射将具有黑体谱，并且温度为
。
我们都知道对于微波背景辐射的测量结果通常表示为辐射能流
，这个物理量的物理意义是：在单位时间、单位接收面积、单位立体角、单位频率间隔中接收到的能量。
这个辐射能流可以表示为：
上面我们说过，微波背景辐射具有黑体谱，并且这个等效黑体温度用
来表示。
这个等效黑体温度定义为：在这个温度之下的黑体辐射在频率 之处具有观测到的能量密度和能流为：
另外，黑体辐射谱最大的特征就是，黑体辐射谱温度与它的频率没有任何关系。这时我们可以用探测天线的温度
来表示微波背景辐射测量的结果，也就是我们所测得的微波背景辐射温度。
它的定义是在这样的温度之下，我们可以在频率v之处给出观测到的能量密度或者能流，大概为：
如果我们考虑在假设不透明度下降很陡之前的物质的热力学体系，那么这个时候就得出背景辐射大概会有一个黑体辐射谱，它的温度就是一个临界值，从而告诉我们当宇宙变得透明的时候，两个时刻的宇宙尺度之比即：
。
因此我们可以找到一个公式用来描述当物质与辐射处于热接触时物质的温度该如何变化即：
。其中，A是一个常数。
物质的温度按这个公式的规律降低，考虑这种情况，再结合上面的光子的剩余固有能量密度，就可以知道宇宙是如何从不透明变成透明的，以及如何描述宇宙不透明度的下降。
在物质和辐射处于热平衡时期，这个背景辐射用这个公式描述：
在宇宙早期物质和辐射处于热平衡时期，背景辐射可以完全由上面这个黑体公式来描述，它的温度
等于物质的温度。
现在我们令
，可以确定这个A，这样上面的背景辐射温度公式就可以改写为：
而在物质和辐射处于热平衡的时候，物质的温度是和背景辐射的温度是相同的。
也就是：
这样我们就可以知道在早期宇宙中，背景辐射温度
将决定着在T，R为常数下的整个时期早期宇宙的热力学体系情况。
若要确定在什么情况下T，R为常数，我们首先要从黑体辐射处于热平衡状态下理想气体模型出发。
我们在对
这个式子中的 进行积分可以得到我们所熟知黑体辐射中的能量密度公式：
这里的a是个系数，由于上面采用的并非是国际单位制所导致。
在这种理想气体模型中，体系的总压强和总能量密度是这样的：
在上面这两个式子中，n是气体粒子数密度，m是气体粒子质量，而γ则代表气体的比热比。
考虑宇宙早期的情况是充满了一堆原子氢的单原子气体，γ=5/3。
因此，我们就可以写出粒子数守恒方程：
这个体系的能量守恒方程就可以写成：
进一步整理就可以得到：
在这个式子中， 被定为每个气体粒子平均的光子熵：
对于σ<<1情况下，那么根据上面的能量守恒方程就可以达到这样的关系：
对于
的情况下，根据上面的能量守恒方程就可以达到这样的关系：
如果这个光子熵
非常大，只要在物质和辐射之间存在着显著的热接触，这时背景辐射温度将继续超过物质。
这种情况下，
将固定为一个常数：
如果
早期很大，那么它将一直保持着这样大。
那么在大爆炸理论模型中，背景辐射与物质的温度将一直遵守着上面那些公式。
黑体辐射中的光子数密度是
，对频率v积分，这样我们就可以知道光子数密度的表达：
光子熵就可以定义为：
这告诉我们，现在的宇宙中，每一个质子和中子将对应着许多光子。
现在对背景辐射温度
的计算，最初是大爆炸理论的提出者伽莫夫以及合作者贝特研究的。他们认为当温度到达
的时候，想让中子和质子能结合成更重的原子核，那么光子熵
必须达到
这种量级。在这种情形下，宇宙是极其热的。
上面我们说到，无论宇宙在从不透明到透明的过程，还是直至现在，R，T一直都是一个常数，保持不变。
现在的宇宙原子核密度大概在
，而早期的密度大概在
左右。
现在的辐射温度大概是
乘以当时的温度
，这样算起来温度大概在5K。因此，伽莫夫等人通过大爆炸理论得出来，现在的背景辐射温度T_γ0=5K，
当然，这与现在的两点几K还是有出入的，但是在当时已经是非常了不起的。
不过这提出来之后并没有引起学术界的注意，还是被人忽视了。
时间到了1965年，迪克、皮布尔斯以及另外两个人重新正视了这个问题并且深入探讨了现在的背景辐射温度T_γ0物理意义。
他们认为，在这种情况下，早期宇宙要么是从一个初始的奇点中膨胀，要么就是在有限的半径内来回震荡或者脉动。而即使这样，他们认为也总有一些重元素会留下来。
因此，迪克为当时还比较稚嫩的皮布尔斯写的一篇文章里面，说明了为什么这一发现可以证明一个热大爆炸宇宙学，也指出了纯粹的重子物质+爱因斯坦广义相对论框架与一个非开放的宇宙所存在的高氦丰度性质之间所存在的矛盾。
同时他们也开始积极地探测现在的背景辐射温度
。
与此同时，大卫·托德·威尔金森和彼得劳尔、迪克在普林斯顿大学的同事开始建设迪克辐射计测量宇宙微波背景辐射。迪克发明的探测器是一个设定接收器在每秒100次来回接通一个指向天空的大喇叭与一个瞄准液氦槽中的大喇叭。
正当迪克小组在寻找这种微波背景辐射的时候，微波背景辐射却以一场戏剧性的意外出现在人们面前。
1964年，美国的两位工程学家彭齐亚斯和威尔逊在调试天线时，无意中发现信号中有一个无法消除的微波噪声，最初他们以为是附近的干扰，结果跑进天线大锅里发现了鸽子粪，当清除粪便之后，发现噪声还存在。在一系列排查之后，他们终于意识到这个微波噪声可能不是仪器本身或者周围环境造成的，而是来自茫茫的宇宙空间。这个微波噪声呈现黑体辐射谱处于微波波段温度大概在2.7K。彭齐亚斯和威尔逊并不懂得这个探测结果的物理意义，他们也一头雾水，但还是发表了文章。文章的题目是《在4080M赫兹上额外的天线温度测量》，在文章中他们写到有效的天顶噪声温度的测量得出一个比预期高约
的值。
在他们观察的限度以内，这个多余的温度呈现的是各向同性非偏振，并且不随着季节而变化。
他们主要将测量过程及测量数据和结果呈上，但他们依然不知道自己探测的东西到底是什么。
当迪克小组看到彭齐亚斯和威尔逊的文章之后，迪克本人立刻前往访问，参观了彭齐亚斯和威尔逊的天线设备，并且与他们讨论测量结果。迪克以及小组其他成员认为这种辐射就是他们苦苦寻找的宇宙微波背景辐射。
但其实两者还相差甚远。
彭齐亚斯和威尔逊观测站距离普林斯顿大学帕尔默物理实验室(罗伯特·迪克领导搞天文物理研究的小组，主要是用来寻找微波背景辐射)有几英里的距离。
后来，迪克与皮布尔斯等人迅速针对这两位的发现结果发表了一篇名为《Cosmic Black-Body Radiation》文章，从物理学上严格解释论证了彭齐亚斯的测量结果，确实是宇宙微波背景辐射。
在这篇文章中他们认为，存在一种标量场，它可以调和现有宇宙的氦丰度所预测的30K温度与实验所观测到的3K。
另外根据小组内的讨论，他们认为，存在一个轻子/重子质量比，减少中子在早期宇宙中的丰度从而降低氦在早期宇宙中的形成率。从而解决了纯粹的重子物质+爱因斯坦广义相对论框架与一个非开放的宇宙所存在的高氦丰度性质之间所存在的矛盾。
就这样两位工程学家意外地发现了微波背景辐射，于1978年获得诺贝尔物理学奖，但是一直为此奔劳的迪克却没有获奖。
今天，我们可以通过WMAP等卫星来绘制宇宙微波背景辐射。
人们发现宇宙微波背景辐射是各项同性的，有一点点的温度涨落是由量子效应与多普勒效应引起的。
因为微波背景辐射这种性质，皮布尔斯在自己的新书《物理宇宙学原理》 中，他根据各向同性宇宙背景辐射描述了宇宙中任何地方的速度的首选参考系，这与先前的模型有所不同，但他认为这并不违反相对论。
综上可以看出詹姆斯·皮布尔斯在大爆炸宇宙模型以及微波背景辐射方向上的贡献是尤为突出的。
不过他的工作不仅于此。他对于现在的宇宙学模型建立是有很大的帮助的。
现有的标准宇宙学模型ACDM，可以被简单粗暴地理解为由代表（能量密度恒定且单一的）暗能量的宇宙学常数
和代表（冷）暗物质的CDM所组成。
同样，现在宇宙学两大黑暗的地段就是暗能量与暗物质。他对这两方面最基本的框架做出了极大的贡献。
我们下期继续介绍。
参考引源：
《引力论和宇宙论一一广义相对论的原理和应用》S.温伯格
《广义相对论基础》赵峥，刘文彪
《动力学暗能量的研究》张晓菲
【本文为耀星会科普作者的原创作品，未经作者允许，禁止盗用、转载、篡改文章，否则耀星会将追究版权责任。】
奖励金币：10
奖励理由：内容丰富饱满