在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）相类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh 和双曲余弦函数 cosh ，从它们可以导出双曲正切函数 tanh 等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。
双曲函数的定义域是区间，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数是工程数学中一类重要的函数，然而它也是一类最重要的初等函数。即使在高中数学中也能找到它的身影。
• 起源：
• 定义：
• 函数性质：
I 、 y = sinh （ x ） ，定义域为 R ，值域为 R ，奇函数，函数图像为过原点并且穿过第一、第三象限的严格单调递增曲线，函数图像关于原点对称。
II 、 y = cosh （ x ） ，定义域为 R ，值域为 ［ 1 ， + ∞ ） ，偶函数，函数图像是悬链线，最低点是 （ 0 ， 1 ） ，在第一象限部分是严格单调递增曲线，函数图像关于 y 轴对称。
III 、 y = tanh （ x ） ，定义域为 R ，值域为 （ – 1 ， 1 ） ，奇函数，函数图像为过原点并且穿越第一、第三象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两水平渐近线 y = 1 和 y = – 1 之间。
IV 、 y = coth （ x ） ，定义域为 （ – ∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， + ∞ ） ，值域为 （ – ∞ ， – 1 ） ∪ （ 1 ， + ∞ ） ，奇函数，函数图像分为两支，分别在第一、第三象限，函数在 （ – ∞ ， 0 ） 和 （ 0 ， + ∞ ） 分别单调递减，垂直渐近线为 y 轴，两水平渐近线为 y = 1 和 y = – 1 。
V 、 y = sech （ x ） ，定义域为 R ，值域为 （ 0 ， 1 ］ ，偶函数，最高点是 （ 0 ， 1 ） ，函数在 （ 0 ， + ∞ ） 严格单调递减， （ – ∞ ， 0 ） 严格单调递增。 x 轴是其渐近线。
VI 、 y = csch （ x ） ，定义域为 （ – ∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， + ∞ ） ，值域为 （ – ∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， + ∞ ） ，奇函数，函数图像分为两支，分别在第一、第三象限，函数在 （ – ∞ ， 0 ） 和 （ 0 ， + ∞ ） 分别单调递减，垂直渐近线为 y 轴，两水平渐近线为 x 轴。
• 与一般三角函数关系：
双曲三角函数与一般三角函数有如下的关系：
I 、 sinh （ x ） = – i • sin （ ix ）
II 、 cosh （ x ） = cos （ ix ）
III 、 tanh （ x ） = – i • tan （ ix ）
IV 、 coth （ x ） = i • cot （ ix ）
V 、 sech （ x ） = sec （ ix ）
VI 、 csch （ x ） = i • csc （ ix ）
• 恒等式：
• 导数：
• 不定积分：
• 级数表示：
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