2025新年首发——趣谈“雷劈数”

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一元复始，万象更新。眨眼睛， 2025 年的钟声已经敲响， 21 世纪也已经走到了第二个 1 / 4 了。在展开正题之前，我在此向各位读者问一声：“新年好”

不知道大家是否发现了没有，今年的年份序数“ 2025 ”是一个很有意思的数，在 2000 ~ 2099 这 100 个整数之中，只有 2025 这个数可以取整数平方根（即 ± 45 ），并且如果将“ 2025 ”这个数的左右两位数拆开（即 20 与 25 ），那么这两个两位数加起来正好又是 2025 的算术平方根［即 20 + 25 = √ 2025 或说（ 20 + 25 ） ↑ 2 = 2025 ］。并且在所有的 4 位整数（即 1000 ~ 9999 ）中，只有 2025 、 3025 与 9801 这三个数满足这一性质。

其实，像这样的数，被叫做“雷劈数”。雷劈数是自然数的一类，若正整数 X （在 n 进位下）的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于 X ，那么 X 的平方就是（ n 进位下的）一个雷劈数，又称卡布列克数。例如 55 ↑ 2=3025，而 30 + 25 = 55 ，那么 3025 就是一个雷劈数。

那么这类数是怎么被发现的呢？这就要提到一个有趣的偶然发现了。印度数学家卡普列加（ Dattaraya Ramchandra Kaprekar ， 1905 ~ 1986 ）在一次旅行途中，偶然遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块里程碑被雷劈成了两半，一半上写着 30 ，另一半写着 25 。这时，他忽然发现 30 + 25 = 55 ， 55 ↑ 2 = 3025 ，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。从此他就专门搜集这类数字。

按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”，也叫“分和累乘再现数”。

卡氏数可以指平方后的数，亦可指平方前的数，常常不加区分。

人们容易找到其他的数也具有这样的性质。例如，易知 2025 具有该性质： 20 + 25 = 45 ， 45 ↑ 2 = 2025 。

求雷劈数的方法很多，从初等数学到高等数学，应有尽有。以下是两种最简单的办法（以两位数 + 两位数为例）：

方法 A ：

设该数的前两位为 x ，后两位为 y ，根据定义，有

（ x + y ） ↑ 2 = 100 x + y

即 x ↑ 2 + 2（ y – 50 ） x + y ↑ 2 – y = 0 。

该方程的判别式 D = 4 ( 2500 – 99 y ) 必须是完全平方数，而 y 本身也必须是平方数的尾数，故可求得 y 等于 1 或 25 ，从而求得三个有效结果 2025 ， 3025 ， 9801 。

方法 B ：

同样设该数的前两位为 x ，后两位为 y 。于是有

（ x + y ）↑ 2 = 100 x + y = x + y + 99 x

（ x + y ）（ x + y – 1 ） = 99 x

从而看出 x + y 与 x + y – 1 中有一个是 9 的倍数，另一个是 11 的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），从而找出候补者 44 ， 55 和 99 。下略。

用以上方法，亦可找到其他位数的雷劈数，如 7777 ↑ 2 = 60481729 ； 6048 + 1729 = 7777。最小的雷劈数是 81

最小的奇雷劈数是 81 ： 8 + 1 = 9 ， 9 ↑ 2 = 81 。

最小的偶雷劈数是 100 ： 10 + 0 =10 ， 10 ↑ 2 = 100

如果 M ↑ 2 是雷劈数，那么（ 10 … 0 – M ） ↑ 2 也是雷劈数

证明：

设 M ↑ 2 是雷劈数，可以分割成 x 和 y 两部分，且 M = x + y ， y 为 n 位数，

则 M ↑ 2 = （ 10 ↑ n ） · x + y（雷劈数定理）

然而

（10 ↑ n –  M ） ↑ 2

= 10 ↑ （ 2 n ） – 2 M · （ 10 ↑ n ） + M ↑ 2

= 10 ↑ （ 2 n ） – 2 M · （ 10 ↑ n ） + （ 10 ↑ n ）· x + y

= 10 ↑ （ 2 n ） – 2 M · （ 10 ↑ n ） + （ 10 ↑ n ）· （ M – y ）+ y

= （ 10 ↑ n ） ·（ 10 ↑ n – M – y ）+ y

同样满足雷劈数方程。

在二进制（这也是现代电子信息技术的数学基础）下，所有的完全数都是卡布列克数（同雷劈数）。

以下用 x | y 表示一个平方数 N 可以分割为 x 和 y 两部分， （ x + y ） ↑ 2 = N 。

 y 是一位数： 10 x + y = （ x + y ） ↑ 2

N = 0 | 0 ,  10 | 0 ,  0 | 1 ,  8 | 1

有意义的数只有 9 ↑ 2 = 81 。

 y 是两位数： 100 x + y = （ x + y ） ↑ 2

  0 ↑ 2 = 0 | 00 ， 100  ↑ 2  = 100 | 00

 45 ↑ 2 = 20 | 25 ， 55 ↑ 2 = 30 | 25

 99 ↑ 2 = 98 | 01 ， 1 ↑ 2 = 0 | 01

其中有意义的数是 45 ↑ 2 = 2025 ， 55 ↑ 2 = 3025 。

 0 | 0 … 0 ， 0 | 0 … 1 ， 10 … 0 | 0 … 0 这三种属于平凡解，下略。

根据上节的性质，雷劈数必然成对存在；但 9 … 98 | 0 … 01 是比较特殊的一类，与其成对的 0 | 0 … 1 属于平凡解。

 y 是三位数： 1000 x + y = （ x + y ） ↑ 2 

 297 ↑ 2 = 88 | 209

 703 ↑ 2 = 494 | 209

 999 ↑ 2 = 998 | 001

 y 是四位数： 10000 x + y = （ x + y ） ↑ 2 

 2223 ↑ 2 = 494 | 1729

 7777 ↑ 2 = 6048 | 1729

 2728 ↑ 2 = 744 | 1984

 7272 ↑ 2 = 5288 | 1984

 4950 ↑ 2 = 2450 | 2500

 5050 ↑ 2 = 2550 | 2500

 9999 ↑ 2 = 9998 | 0001

 4879 ↑ 2 = 238 | 04641

 y 是五位数： 100000 x + y = （ x + y ） ↑ 2 

 95121 ↑ 2 = 90480 | 04641

 82656 ↑ 2 = 68320 | 14336

 17344 ↑ 2 = 3008 | 14336

 77778 ↑ 2 = 60494 | 17284

 22222 ↑ 2 = 4938 | 17284

 99999 ↑ 2 = 99998 | 00001

 y 是六位数： 1000000 x + y = （ x + y ） ↑ 2 

 994708 ↑ 2 = 989444 | 005264 ， 5292 ↑ 2 = 28 | 005264

 961038 ↑ 2 = 923594 | 037444 ， 38962 ↑ 2 = 1518 | 037444

 857143 ↑ 2 = 734694 | 122449 ， 142857 ↑ 2 = 20408 | 122449

 851851 ↑ 2 = 725650 | 126201 ， 148149 ↑ 2 = 21948 | 126201

 818181 ↑ 2 = 669420 | 148761 ， 181819 ↑ 2 = 33058 | 148761

 812890 ↑ 2 = 660790 | 152100 ， 187110 ↑ 2 = 35010 | 152100

 791505 ↑ 2 = 626480 | 165025 ， 208495 ↑ 2 = 43470 | 165025

 681318 ↑ 2 = 464194 | 217124 ， 318682 ↑ 2 = 101558 | 217124

 670033 ↑ 2 = 448944 | 221089 ， 329967 ↑ 2 = 108878 | 221089

 648648 ↑ 2 = 420744 | 227904 ， 351352 ↑ 2 = 123448 | 227904

 643357 ↑ 2 = 413908 | 229449 ， 356643 ↑ 2 = 127194 | 229449

 609687 ↑ 2 = 371718 | 237969 ， 390313 ↑ 2 = 152344 | 237969

 538461 ↑ 2 = 289940 | 248521 ， 461539 ↑ 2 = 213018 | 248521

 533170 ↑ 2 = 284270 | 248900 ， 466830 ↑ 2 = 217930 | 248900

 500500 ↑ 2 = 250500 | 250000 ， 499500 ↑ 2 = 249500 | 250000

 999999 ↑ 2 = 999998 | 000001

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