黎曼 ζ 函数

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黎曼 ζ 函数主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学和齐夫-曼德尔布罗特定律（ Zipf – Mandelbrot Law ）、物理，以及调音的数学理论中。

 I 、定义：

 II 、历史：

 – 阿达马与普森：

 1896 年，雅克·阿达马与普森几乎同时地证明了 ζ （ s ）的所有非平凡零点的实部均小于 1 ，即 Re （ s ） = 1 上无非平凡零点，从而完成了素数定理的证明。

 – 希尔伯特：

 1900 年，希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了 23 道最重要的数学问题，黎曼假设在其中作为第 8 题出现。

 – 玻尔与兰道：

 1914 年，哈那德·玻尔和爱德蒙·兰道证明了玻尔-兰道定理：含有临界线的任意带状区域都几乎包含了黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点，表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”。

 – 李特尔伍德：

 1921 年，哈代和李特尔伍德证明了存在常数 T ，使临界线上虚部位于 0 与 T 之间的非平凡零点的数量至少为 KT 。

 – 塞尔伯格：

1942年，阿特勒·塞尔伯格更进一步，证明了存在常数 T ，使临界线上虚部位于 0 与 T 之间的非平凡零点的数量至少为 KT • ln （ T ），这意味着黎曼 ζ 函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度，而临界线 Re （ s ） = 1 / 2 对于临界带 0 < Re （ s ） < 1 的测度为 0 。

 III 、解析延拓：

 IV 、数论函数：

 V 、佩龙公式：

 VI 、零点：