详细解读自然常数 e

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库伦

自然常数，符号为 e ，为数学中一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为 2 . 718281828459045 。它是自然对数函数（ ln x ）的底数。有时称它为欧拉数（ Euler number ），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字——纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔（ John Napier ）引进对数。它就像圆周率 π 和虚数单位 i （ i ↑ 2 = – 1 ），是数学中最重要的常数之一。

I 、起源：

自然常数 e ，作为数学常数，它的其中一个定义是（ 1 + 1 / x ） ↑ x 在 x → ∞ 时的极限，其数值约为（小数点后 100 位）： e = 2 . 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 …… 。

在 1690 年，莱布尼茨在信中第一次提到常数 e 。在论文中第一次提到常数 e ，是约翰·纳皮尔（ John Napier ）于 1618 年出版的对数著作附录中的一张表。但他没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德（ William Oughtred ）制作。第一次把 e 看为常数的是雅各布·伯努利（ Jacob Bernoulli ）。欧拉也听说了这一常数，所以在 27 岁时，用发表论文的方式将 e “保送”到微积分。

已知的第一次用到常数 e ，是莱布尼茨于 1690 年和 1691 年给惠更斯的通信，以 b 表示。 1727 年欧拉开始用 e 来表示这常数；而 e 第一次在出版物用到，是 1736 年欧拉的《力学》（ Mechanica ）。虽然以后也有研究者用字母 c 表示，但 e 较常用，终于成为标准。

用 e 表示的原因不明，但可能因为 e 是“指数”（ exponential ）一词的首字母。另一看法则称 a ， b ， c 和 d 有其他经常用途， e 则是第一个可用字母。还有一种可能是，字母“ e ”是指欧拉的名字“ Euler ”的首字母。

以 e 为底的指数函数的重要方面在于它的函数与其导数相等。e 是无理数和超越数（见林德曼-魏尔斯特拉斯定理， Lindemann – Weierstrass ）。这是第一个获证的超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（ Charles Hermite ）于 1873 年证明。

其实，超越数主要只有自然常数（ e ）和圆周率（ π ）。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。

融合 e ， π 的欧拉恒等式 e ↑（ iπ ） + 1 = 0 ，也是超越数 e 的数学价值的最高体现。

自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底。为什么会这样，主要取决于它的来历。

法语中的序数词，数字与“ E ”组成，例如： Première ， 21 e 为 Vingt – première 。

因为 e = 2 . 7182818284 … ，极为接近循环小数 2 . 71828 （ 1828 循环），那就把循环小数化为分数 271801 / 99990 ，所以可以用 271801 / 99990 表示为 e 最接近的有理数约率，精确度高达 99 . 9999999 % （小数点后 7 个 9 ） 。

II 、收敛性证明：

III 、另外形式：

IV 、计算方法：

V 、应用：

自然常数 e 在科学上有广泛应用。以下举几例：

• e 对于自然数的特殊意义：

所有大于 2 的 2n 形式的偶数存在以 e 为中心的共轭奇数组，每一组的和均为 2n ，而且至少存在一组是共轭素数。

可以说是素数的中心轴，只是奇数的中心轴。

• 素数定理：

自然常数也和质数分布有关。有某个自然数 a ，则比它小的质数就大约有 1 / ln a 个。在 a较小时，结果不太正确。但是随着 a 的增大，这个定理会越来越精确。这个定理叫素数定理，由高斯发现。

• 完全率：

设完全图内的路径总数为 W ，哈密顿路总数为 h ，则 W / h = e ，此规律更证明了 e 并非故意构造的， e 甚至也可以称呼为是一个完全率。与圆周率 π 有一定的类似性，好像极限完全图就是图论中的圆形，哈密顿路就是直径似的，自然常数的含义是极限完全图里的路径总数和哈密顿路总数之比。

• 双曲函数：

双曲函数是自然常数价值的重要体现。它可以解决很多问题。如：

可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图 1 中，起始段 t 和 v 的关系几乎是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零， v 几乎不随时间而变化。一段时间后， v 差不多是一平行于 t 轴的直线。