不完全伽马函数（ Incomplete gamma function ）

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在数学中，上不完全 Γ 函数和下不完全 Γ 函数是 Γ 函数的推广。

 I 、定义：

 II 、记号：

如无特别说明，在本文中，以 x 表示非负实数，以 z 表示任意复数。

 III 、基本性质：

 IV 、解析延拓：

•下不完全伽玛函数

多值性：

下不完全伽玛函数的多值性来自于因子 z 的多值性。如无特别说明，本文限制 z 的辐角绝对值小于 π 。

积分表达式：

在选定了 z 的单值分支之后，下不完全伽玛函数的积分定义式可以自然地拓展到 z 为任意复数的情形，只是此时该积分应该理解为复平面上的路径积分，且积分路径需避开单值分支间的割线。需注意的是此时仍然要求 s 的实部大于 0 ，否则积分不收敛。

总结：

根据上面的讨论，下不完全伽玛函数有下列性质：

当 s 为正整数时是z的整函数；

当 s 不是整数时是z的多值全纯函数， z = 0 是其枝点；

对于确定的 z ，指定主分支后，下不完全伽玛函数是 s 的亚纯函数，非正整数是其一阶极点。

•上不完全伽玛函数

总结：

上不完全伽玛函数的其它解析性质可以由下不完全伽玛函数和（完全）伽玛函数的解析性质得到。结果如下：

当 s 是正整数时，是 z 的整函数；

当 s 不是整数时，是 z 的多值全纯函数， z = 0 是其枝点；

选定单值分支后，对 z ≠ 0 ，是 s 的整函数；

当 s 的实部大于零且 z = 0 时，等于（完全）伽玛函数  Γ （ s ）；

注意最后一条对一般的 s 并不成立。特别地，当 s 为负实数且不为整数时，Γ（ s ）是实数，而 s 的上伽马函数没有定义。

V 、特殊值：

 VI 、导函数：