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    如何证明由1到9这9个数字(数字不重复)组成的九位数,一定能够被九整除?

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    • 首先,我们可以观察10^n-1,经过简单的减法运算,我们就知道这样的每一位上都是9,我们通过除法就可以很容易地得知这个数除以9就等于一个每一位上都是1的数(比如10^3-1=999,999/9=111),也就是说对于任何一个10^n-1,它都可以被9整除。 接下来,我们继续证明一个数如果所有位上的数字之和是9的倍数,那么这个数也是9的倍数:我们假设这个数有n位,从右到左每一位数分别为a0,a1……a(n-1),那么通过十进制的知识,我们就知道这个数字的具体数值就是a0 (10^1)a1 …… (10^(n-1))a(n-1)=(a0 a1 …… a(n-1)) (10^1-1)a1 …… (10^a(n-1)-1)a(n-1),我们可以很轻松地看到,后面的所有项都是10^n-1的形式,他们都能被9整除,而对于第一项,也就是所有数位上数字的和,由我们的条件可知,它也是9的倍数,自然这些项加起来的和也是9的倍数。 再回到这个问题,我们用1~9不重复地组合成9位数,那么这个数每个数位上数字的和自然就是1 2 …… 9=45,也是9的倍数,按我们上面的证明,它自然也可以被9整除。

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