在现代正式数学证明中，曾出现过一个巨大的数字——葛立恒数（Graham's Number）。葛立恒数曾经被视为在当代正式数学证明中出现过的最大的数字，它大得连科学计数法都不够用。葛立恒数曾经是吉尼斯世界纪录中最大的「有意义」的自然数。
葛立恒数是拉姆齐理论（Ramsey theory）中一个机器异乎寻常问题的上限解，是一个难以想象的巨型数字。这个问题的表述为：连接n维超立方体的每对几何顶点，获得一个有着2↑n个顶点的完全图（每对顶点之间都恰连有一条边的简单图），然后在该图的每条边涂上红色或蓝色，那么，使所有填法在四个共面顶点包含至少一个单色完全子图的最小n值是多少？这个n值，就是所谓的“葛立恒数”。
葛立恒数无比巨大，无法用科学计数法表示，就连a↑（b↑（c↑（…）））这样的指数塔都无济于事，甚至连数学家都难以理解它。举个例子，假如把整个宇宙中所有的物质全部转换成墨水，并把它放在一支钢笔中，那也没有足够的墨水在纸上写下这个数的位数，事实上，这只钢笔甚至写不下这个数的位数的位数，就是再添加多少个“的位数”也无济于事，事实上，我们无法得知在后面要添加多少个“的位数”才能被这支钢笔写出来。假如把整个葛立恒数（甚至是它的位数的位数的位数…的位数）全部装入一个金属块中，那么这个金属块的信息量将大大超过黑洞的熵，也就是说，这个金属块将因此直接变成一个黑洞。
但是，这个数可以利用高德纳箭头表示法的递推公式来描述。虽然这个准确的答案未知，但葛立恒数是现在已知的最小上界。虽然这个数过于巨大而无法完全计算出来，但其最末尾的几位数可以通过简单的方法得出，其最后12位为262,464,195,387。
怎么用高德纳箭头来表示葛立恒数呢？
首先，我们要明确高德纳箭头的定义。a↑n表示a的n次方（即n个a相乘）；a↑↑n表示对于a将“↑”重复n遍；a↑↑↑n表示对于a将“↑↑”重复n遍，以此类推，有a↑↑↑…↑n（λ个“↑”）表示对于a将“↑↑↑…↑”（λ-1个“↑”）重复n遍。
首先计算3↑3，其结果为3的3次方，等于27；
接下来计算3↑↑3，3↑↑3可简化为3↑（3↑3），其结果为7,625,597,484,987，这个数是13位数；
再接下来计算3↑↑↑3，3↑↑↑3可简化为3↑↑（3↑↑3），再一步可简化为3↑（3↑（3↑（…↑3）））（共有3↑↑3个3），写出来就是一个由7,625,597,484,987个3组成的指数塔，如果每2cm写一个3，那么这个指数塔将有（1.525×10↑8）千米长，也就相当于地球与太阳之间的距离。3↑↑↑3已经大到不可计算了；
再接下来是3↑↑↑↑3，可简化为3↑↑↑（3↑↑↑3），也就是对于3将“↑↑↑”重复（3↑↑↑3）遍。
而G（1）=3↑↑↑↑3，G（2）=3↑↑↑…↑3（共G（1）个“↑”），G（3）=3↑↑↑…↑3（共G（2）个“↑”），G（4）=3↑↑↑…↑3（共G（3）个“↑”），一直递推到G（64），G（64）就是所谓的“葛立恒数”。
今天你惊到了吗？
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比“葛立恒数”还大——TREE（3）：从一棵“树”上长出来的最大数字！