如何将飞船送往其他行星？简谈航天器的运动和轨道问题

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作者：丛雨

       要把探测器送往火星，总共需几步？一般来讲，从地球发向其他行星的探测器的飞行过程大致分为三个阶段：火箭发射升空并绕地球运行、变轨加速以脱离地球引力前往目标行星、抵达后在目标行星上环绕或着陆。其中一三阶段时间短但步骤和细节繁杂，而二阶段将占据飞行器旅程的大部分时间。本文将从航天器的运动和轨道问题出发，介绍天体运动和变轨问题的一些简单知识。

一、三种宇宙速度

我们将首先从航天器的速度问题开始。

众所周知，水平方向抛出的物体，初速度越快，落点越远，当它的速度达到7.9 km/s时，便再也无法落回地面，将仅在地球引力的影响下环绕地球做匀速圆周运动。这便是地球的第一宇宙速度，是发射人造卫星的最小初速度，也是以圆轨道绕地球运动的最大线速度。

如果发射时初速度达到约11.2 km/s，即地球的第二宇宙速度时，飞行器就能恰好完全摆脱地球的引力，且之后无需加速。天体的第二宇宙速度又称逃逸速度，以逃逸速度从天体表面沿任何方向发射的无动力物体，在引力作用下速度会慢慢减小，当飞行至无穷远时速度恰好为0。逃逸速度是第一宇宙速度的倍，可用动能和引力势能（E_p = –GMm / r，无穷远处为势能零点）相互转化来计算，这一过程中，动能逐渐转换成引力势能，直到无穷远处双双为0。

第三宇宙速度是同时脱离地球和太阳引力所需的最小发射初速度，与方向任意的第二宇宙速度不同，它要求飞行器的初始运动方向必须与地球公转相同，从而可以借助地球公转的速度，减少燃料消耗。根据上文可知，地球轨道处太阳的逃逸速度是圆轨道速度29.8 km/s的倍，约42.1 km/s，因此飞行器除了需要二者相差的12.3 km/s对应的动能来脱离太阳引力，还需另外的11.2 km/s对应的动能以逃离地球，这两个动能数值之和对应的速度就是第三宇宙速度16.7 km/s。

显然，往返于地球与其他行星之间的行星际飞行器，目的地距离地球较远，可以说需要完全克服地球引力，但又不会离开太阳的引力范围，因此它们的速度通常介于v₂和v₃之间。

（图1：第二和第三宇宙速度的推导过程）

二、不同速度的轨道

其次，我们考虑不同的轨道速度和发射方向所对应的具体轨道形状。

最简单的情形是物体沿水平方向抛出。第一宇宙速度v₁的轨道形状是圆形，假如速度略大于此，物体的向心加速度将大于引力所提供的，轨道将会是一个椭圆——以地球中心为焦点，发射位置为近地点。而随着初速度的增大，椭圆将越来越扁，远地点高度、半长轴和偏心率也慢慢增加，倘若以第二宇宙速度v₂发射，轨道的偏心率将变成1，半长轴和远地点距无穷大，也就是一个开放的抛物线轨道。如果初速度比v₂还大，飞行器相对地球的轨道将是双曲线的一支，偏心率大于1，半长轴在天体力学中被定义为一个负值。

而回顾一下那些发射速度小于v₁的平抛运动，严格来讲，它们的轨迹其实也是椭圆，只是初速度很小时，椭圆同样很扁，离心率无限接近1，因此可以当作抛物线来看待。这时的初始抛射位置是椭圆的远地点，近地点则在地球内部。

（图2：不同大小的水平发射速度的轨道形状）

实际上，除去竖直向上发射这一种特殊情况，当物体的初速度分别小于、等于和大于v₂时，哪怕发射方向并非水平，轨道依旧会分别是椭圆、抛物线和双曲线，不过方向不同的情况下，椭圆或双曲线的半长轴和偏心率、抛物线的焦距也有所不同。对于这些方向并非水平的情形，若已知速度大小和矢径长度，我们可以通过计算物体的机械能来判断轨道形状和半长轴的大小，动能与势能之和小于、等于或大于0分别对应着椭圆、抛物线和双曲线轨道。由于二体问题中系统的机械能E = –GMm / 2a，继而可以求得它们的半长轴a。

（图3：以v₁和v₂沿不同方向发射时的轨道）

三、变轨运动与霍曼转移

       最后，让我们来到航天器的变轨话题上。由于实际的变轨和轨道设计必然极其复杂，因此以下只介绍一些简单的理论和思路。

考虑一艘在近地轨道以圆形绕地球运转的飞船或卫星，突然沿原本的运动方向点火加速。此时它的运动速度将大于此处的圆轨道环绕速度，向心加速度也将大于圆周运动所需，轨道变成以加速位置为近地点的椭圆轨道，这与我们上文谈论的地表速度介于v₁和v₂之间的情形相同。待它运行至远地点，飞船再沿运动方向进行一次适当的加速，使速度恰好等于当前距离的环绕速度，它便成功地变轨至一个半径比最初更大、高度比原来更高的圆轨道上——这就是变轨操作的基本思路。而降低轨道高度只需逆向操作，减速降至椭圆轨道，并在近地点再次减速即可。

（图4：卫星的变轨过程图示）

当然，变轨后的轨道并不一定必须是圆，短时间内引擎单次点火释放的能量也许不足以抵达目标高度，可以等卫星环绕一圈返回初始位置后再次点火，或采用每次达到远地点都进行加速的多次变轨方式，此时的卫星轨道就是一个个大小不同的椭圆环环相套；加速（或减速）的位置也并不仅局限于远地点（或近地点），但是将目标轨道设置为远地点的方法，消耗的燃料是最少的——更大的初速度则代表着需要更高的初动能，而以恰到好处的初速度前往确定的位置，自然可以节约能量。

把上述双切轨道推广到不同行星之间也是一样的，这种以内行星轨道上的某一位置作为近日点、外行星轨道上的某一位置作为远日点，且与两行星轨道均相切的轨道被称作霍曼转移轨道，是行星际旅行最节省能源的路线。飞往外行星时沿地球公转方向加速，靠近目标行星时再次加速追赶；前往内行星时朝公转的反方向减速，接近目标行星时再次减速停留。因为太阳系的诸多行星处于不断的运动之中，它们与地球的相对位置也在时刻改变，所以行星际飞行器发射的最佳时机是呈周期性变化的，它等同于地球和目标行星的会合周期。

（图5：地球到火星的霍曼转移轨道）

霍曼转移由于路程远且速度慢，消耗的时间太长，某些时候仅仅为了节约燃料却浪费大量时间似乎有些得不偿失，因此还可以采用抛物线轨道，即需达到地球轨道处太阳的逃逸速度（相对地球的初速度当然是16.7 km/s），在出发和抵达阶段花费更多燃料加速和减速。下表列出了去往各行星所需的时间，可以看出与双切霍曼转移轨道相比，抛物线轨道的确耗时极短。

（图6：霍曼轨道和抛物轨道的所需时间对比）

最后值得一提的是，各大行星轨道都并非正圆，且轨道倾角各不相同，不仅如此，行星际飞行器的飞行途中还要计算目标之外行星的引力摄动，甚至太阳爆发的影响和穿越小行星带的安全问题也是必须考虑的，真实的轨道设计工作自然不是三言两语能够讲述清楚的，本文便只做这些简略介绍，权当抛砖引玉之用。