科普驿站 第八十六期
科目：物理
难度：B1
讲师：莫特相变的皮卡丘
4 超导的经典解释
所有人都想知道这是为什么。有一对德国人，叫做伦敦兄弟，没错就是英国首都那个London，尝试用经典的方法解释超导的两个效应。下文将用伦敦指代这两兄弟。针对零电阻的方程比较简单，我将在这里推导伦敦第一方程。
伦敦认为，超导电流包含两部分，为了方便起见，我们使用电流密度j（粗体代表矢量）——也就是单位面积上流过的电流（类比电阻率的定义）。其中的第一部分为正常电流jn，另一部分为超导电流js。那么有总电流密度
电流是矢量呀，也就是有大小和方向的量，所以带了箭头。这里的矢量箭头，表示电流方向与电场方向相一致，不方便理解就可以直接无视。
对于正常电流，其与电场强度的关系满足欧姆定律
实际上就是电流密度=电阻率×电场强度。（中学的欧姆定律I=U/R，利用电阻的微观定义R=lρ/s，有I=Us/(lρ)。两边同时除以s，左边为电流密度j=I/s，右边电场强度E=U/l，然后定义电导率为电阻率的倒数，σ=1/ρ，就得到了j=σE）。
而对于超导电流，由于不存在电阻，欧姆定律将不能得到满足，电子的运动由牛顿第二定律所确定，即
其中的电场力
利用电流的微观定义，也就是，电流是由电荷定向流动产生的。知
这里的js是超导电流，n是超导电子的数目。伦敦假设这个数目n只与温度相关。这个式子两边取Δ得到
注意到电子数目与元电荷都是常量。将这些带入上面的牛顿第二定律与电场力表达式，得到
伦敦第一方程告诉我们，在超导体中，电流的变化速率与电场成正比。对比传统的导体，我们发现欧姆定律告诉我们电流本身与电场成正比。显然超导电流与经典电流的电学性质存在很大差异。
伦敦第二方程是针对迈斯纳效应的，实质上是将著名的麦克斯韦方程带入第一方程得到的。麦克斯韦方程组有四条，分别讲述电场的形成（电荷）、磁场的形成（很遗憾没有磁单极子）、涡旋电场激发随时间变化的磁场和涡旋磁场激发随时间变化的电场——这四点实际上大家高中都学过。大家觉得要带入哪一条呢？很显然是后两条中的一条。为了避免重复计算对时间的变化（也就是求二阶导数），选择第三条吧，这一条长这样
左边的倒三角+叉乘表示，计算电场强度 绕着一个点的旋转程度，就是大家经常用右手定则比划的那个旋转。右边代表磁感应强度随着时间的变化。结合伦敦第一方程，可以得出结论：
这个方程说明左边中括号内的式子对时间求导为0，也就是说，中括号以内的内容不随着时间变化而变化。所以，只要满足关系
也就是说，内部的涡旋电流激发了一个与外磁场等大反向的磁场，这样超导体内部区域的磁感应强度就保持为0了。
这个关系是楞次定律：超导体放进磁场的一瞬间，由于变化的磁场产生电场，这个电场引发的涡旋电流瞬间产生了一个磁场，并阻碍外磁场的增加。与普通导体不同的是，超导体不存在电阻，涡旋电流就不会消失，导致阻碍磁场一直存在。这就不难理解为什么将超导体放入磁场内，其内部将排除全部的磁力线了。
5 当经典理论遇到了问题
伦敦方程在解释直流零电阻与迈斯纳效应时，有较好的符合度，然而这个方程与实验还存在一些差别。首先，从微观角度讲，超导内部的磁场并不严格为0，而是一个从边界到内部指数衰减的关系，而表面这一段磁场不为0的距离极短，叫做穿透深度。根据伦敦第一方程对超导电子数量n的假设，穿透深度与温度有关。对于一般的金属，伦敦方程的理论计算表明，这个深度在10−6cm数量级，也就是几十nm的深度，相比金属而言几乎可以忽略不记。然而实验测出来的这个深度，的确与温度有关，但有时候比理论计算大好几倍，这里就出现了问题。
然后，人们很快发现迈斯纳效应也出现了问题。有些超导体在外加磁场增强的时候，内部的特定区域出现了磁感线，被叫做第二类超导体。这类超导体通常是复杂的合金，比如念起来像顺口溜的钇-钡-铜-氧体系。然而问题在于，随着外加磁场的连续增加，这些磁感线的数目并不是连续变化，而是像台阶那样发生跳跃，这种现象叫做磁通量子化。随着外加磁场持续增加，迈斯纳效应消失。由于磁感线出现的区域是特定的，于是赫赫有名的苏联理论物理学家朗道和合作者金兹堡将磁场B与位置r考虑了进去，他们认为超导电子数量n与温度、磁场与位置均存在关系。
列夫·朗道，对于学物理专业的同学而言，是一个又爱又恨的名字。这位理论大师有许多著名研究，涵盖现代物理各大方面，包括量子力学的密度矩阵、二级相变、磁性理论、超导与超流，甚至还有粒子物理的弱相互作用CP守恒性。苏联人给朗道做了一块大理石碑，将朗道的科学贡献列了十项，叫做“朗道十诫”。
说个题外话，朗道在历史上也许不能与摩西相提并论，但他（和他的学生）编写了一套十本理论物理教材，被认为是最权威的理论物理教材系列，难度大但很有调理，深受全世界学生喜爱。这位大佬甚至有很多轶闻趣事，包括对物理学家贡献排序的“朗道分级”，“刁难”学生的极难入学考试“朗道势垒”，还有在“大清洗”中被捕入狱然后因为玻尔等人的求情被放的神奇经历。
说回主题，朗道和金兹堡对超导提了一个方程，也就是刚刚提到的，自变量包含温度、磁场与位置的方程。问题来了，这个方程太难解了。
微分方程与常规的代数方程差不多，解决多元方程的思路通常是要分离变量。而金兹堡-朗道方程坏就坏在，这些自变量是相互耦合的，不能互相分开。无数的物理学家和数学家们前仆后继地计算这些方程，成功解决了前面的两个矛盾，关于穿透深度与磁通量子化。然而新的问题也出现了，金兹堡-朗道方程对更低温度的解释不大好，作为对比，之前的伦敦方程对更强磁场的解释不大好。大家有没有想到一个类似的著名矛盾事件？其实就是著名的“两朵乌云”中的一朵，黑体辐射，也是高温与低温两边的结果相互矛盾，最后引发了量子物理的革命。所以超导是不是也涉及量子呢？
我们仔细想想伦敦与朗道的方程，有没有觉得缺了什么？对了，这两个理论都在试图提出一个数学模型，并用这个数学模型去拟合未知的物理现象，然后发现这个数学模型和实验结果很相符。
6 BCS理论：当电子团结起来
实际上这个数学模型在物理上叫做唯象学。我们常说物理靠两条腿走路，一条是理论物理，一条是实验物理 ——事实上，唯象也是很重要的一个方面。这个学科在极端理论主义者眼中可能更偏实验物理，认为他们是处理数据的；而在一线实验者眼中，唯象又更偏理论。从物理史的角度，唯象学家最伟大的一次成就，是普朗克将黑体辐射公式里面的积分号改成了求和号，直接拉开了量子物理的序幕。普朗克很幸运，他为自己的唯象模型提出了解释：能量量子化，并且很快得到大量的实验验证。可惜超导的微观解释并不是来自于朗道与金兹堡的理论，而是来自一个被忽视了很久的因素：突变。
我们回到之前引入的问题：电阻突然降到0，我们可以联想到什么现象呢？物理里面的突变并不多，大部分情况是连续性变化的，例如速度和长度的变化。这很好理解，如果长度或者速度会突变，这一定涉及到一个超过光速的问题，是不可能发生的。但是有另一些突变的例子是大家都很熟悉的，例如水的沸腾与结冰。有一种过冷水，只要容器和水十分洁净，就可以对其静置降温，甚至可以降到零下十多度。然后，往桌子上一拍，就会瞬间结冰，十分壮观。
水结冰，或者是沸腾，这种现象叫做相变。“相”也就是物相，例如水在固液气三态变化。对于极低温的情况，有另一种相变，叫做玻色-爱因斯坦凝聚。在统计物理，原子等微观粒子按照组成成分可以分为两类，分别是满足费米圭狄拉克统计规律的费米子，与玻色-爱因斯坦统计规律的玻色子。这两种粒子分别与自然数中的奇数与偶数对应，由奇数个费米子组成的粒子为费米子，例如单个质子（事实上是3个夸克，仍然是奇数个）组成的氢原子核；由偶数个费米子组成的粒子为玻色子，例如包含两个质子和两个中子的He-4原子核。电子只由一个电子组成（没有微观结构），因此电子是费米子。这两类粒子的区别很大，最重要的一个区别，是费米子满足泡利不相容原理。
因此，当对物质降温时，其中原子的能量都会降低。对于玻色子所组成的物质，例如液态He-4，当温度降到极低时，所有原子的能量都会降低到基态，形成一种极其特殊的物态，叫做著名的玻色-爱因斯坦凝聚，缩写为BEC。处在BEC状态的液态He-4有一种叫做超流的性质，直接失去流动阻力，并且有比室温下的金属铜好800倍的超高导热性。不要小看这个没有流动阻力的特点，这意味着，超流的液态He-4甚至可以从玻璃容器的分子间隙里面毫无阻碍地流出来！朗道就发现他的一杯超流He-4漏得到处都是。
这时候我们有要素察觉了！处在BEC状态下的液态He-4存在无阻力流动的性质，是不是和超导很相似？然而电子是费米子，费米子受到泡利不相容原理的约束，无法全部达到能量最低的基态。从我们能带论的描述，电子的能量会展宽为一个带。似乎对超导微观理论的探究走入了僵局。接下来的另一件事情，给了人类巨大的启发：同位素效应。
1950年，人们发现，对于原子质量M不同的同位素，发生超导相-正常相转变的温度Tc满足关系：TcMα =常数。
对于一般的元素，指数因子α=0.5。这个同位素效应告诉我们，材料原子（晶格）本身的质量直接影响到超导。这和我们传统的想法完全不一样，包括之前的能带论，我们讲电子的能量来自于其本身的动能，以及电子与材料中原子核的势能，与质量有什么关系呢？于是人们很快意识到，超导电性的根源，是电子-晶格振动的相互作用。也就是说，参与相互作用的不是静止不动的晶格，而是晶格的振动！同一年，弗列里希指出，两个电子之间通过交换声子发生间接的相互作用。什么是声子呢？“声”实际上就是晶格的振动，类比光子，声子就是这个振动能量的传播子（声子并不是真正的粒子，提出声子的概念是方便计算与理论推导）。关键在于，一个电子放出声子后，被另一个电子接受，这个过程表明，在某种条件下，两个交换声子的电子可以相互吸引！
想象一下，其中的一个电子发出声子，并吸引晶格离开了原来的位置，接下来这个电子走掉了，晶格还来不及通过振动回到原位。此时离开原来位置的晶格又吸引了另一个电子靠近它。从整体上讲，就相当于两个电子相互吸引了。为了使能量降低，这两个电子动量与自旋恰好相反。
所有的问题都解决了：在温度极低时，部分电子在交换虚声子所引发的吸引力作用下，按照相反的动量与自旋两两结合成电子对，这种电子对通常称为库伯对——也就是BEC中的C。在这种情况下，这些电子对变成了玻色子，从而可以毫无阻碍凝聚在最低能量上，毫无阻碍地进行导电。于是超导的问题就迎刃而解了。
参考资料：
第4部分，London方程的推导，详见黄昆《固体物理》以及郭硕鸿《电动力学》
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