想问一下Cayley定理的可视化证明

Cayley定理是代数学中的一个定理，它描述了每个$n$阶有标号的树都可以表示为完全图$K_{n}$的一个子图的形式。以下是Cayley定理的一个可视化证明方法：

首先可以通过手工绘制来验证这个定理。例如，对于一个$4$个节点的树，我们可以手动绘制出所有可能的标号为$1$，$2$，$3$，$4$的树的数量，并将其列举在表格中。我们可以发现，一共有$16$种可能的树，这也是完全图$K_4$的边数。

接下来可以考虑用代数的方法证明这个结论。可以把$n$个节点的有标号树用一个$n\times n$的邻接矩阵$A$来表示。这个矩阵$A$有以下的性质：

$A$是一个对称矩阵；
$A$的主对角线上的元素都是$0$；
$A$的非主对角线上的元素为$1$，表示树上相邻节点之间有一条边。

我们现在考虑如何得到这个$n\times n$的邻接矩阵$A$。我们可以将$n$个节点标号为$1,2,\ldots,n$。我们可以在$K_n$的每个节点上放置一个标号，表示将该节点与$A$中的对应行、列相连。根据$A$的性质，$A$中非主对角线上的元素数目应该与完全图$K_n$的边数相同。

最后需要考虑如何排除那些不是树的情况。

科学的任务，就是要穷探宇宙、社会和人生的一切幽微奥妙——严北溟