数学的故事(2)

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科普驿站  第八十二期

主题：数学的故事

科目：数学

时间：2020.9.14

难度：B1

讲师：萌萌哒小西瓜

第二部分：整数与有理数（上）

在上一篇文章中，我们从集合论的角度严格地定义了什么是自然数，给出了自然数的一个构造，并在自然数集上定义了加法、乘法两个运算，此外我们还定义了大小关系。在这篇文章中，我们将会对加法和乘法两个运算进行深入的讨论，并将阐述整数和有理数。

代数结构：数学三大结构之一

Bourbaki（布尔巴基）学派，是上个世纪数学界最重要的学派之一，深刻地影响了数学和数学教育的走向。这一些来自法国的学者，认为整个现代数学完全基于集合论，他们认为数学是结构的艺术，只研究三种结构：代数结构、拓扑结构、序结构。他们的鸿篇巨著《数学原本》在当时的各个领域成为了标准性的参考书。当然，布尔巴基学派对数学的严谨性提出了严苛的要求，也一度对数学的教育产生了极坏的影响——对于中小学生而言，过分强调严谨性让很多人对数学敬而远之，也就没有多少勇气去学习了。

在这篇文章中，我们只介绍代数结构中最最简单的部分——事实上,即使是大学数学系开设的“抽象代数”课程，也只能揭露代数结构的冰山一角。

三种数学结构无非是给集合增添一些东西，序结构是给集合增添一个关系（例如大于小于）、拓扑结构是给集合添加一些包含关系，而代数结构就是给集合添加一个运算。所谓运算，在上一篇文章中我们已经提及了，运算本质是一个函数，是从S×S到S的映射。

举一些例子，在计算机上有一个重要的类型叫做布尔（Boolean）类型，对应了二进制，也是逻辑的基础。布尔类型只有两个取值，真（True，简记为T）和假（False，简记为F）。我们有这些运算：

1.与（and）： T and T = T, T and F = F, F and T = T, F and F = F

2. 或（or）： T or T = T, T or F = T, F or T = T, F or F = F

3. 异或（xor）： T xor T = F, T xor F = T, F xor T = T, F xor F = F

4. 蕴含（to）： T to T = T, T to F = F, F to T = T, F to F = T

可以看到，与、或、异或都满足交换律和结合律，与和或之间有分配律。数学家会把这样的结构提取出来，研究他们共同的性质。

定义：集合S与集合S上的运算⊕构成阿贝尔群（Abelian Group），如果满足下面五个要求： 

1.运算是封闭的，即如果a∈S、b∈S，那么a⊕b∈S。 

2.运算是结合的，即(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)。 

3.存在零元e∈S，满足a⊕e=e⊕a=a。 

4.对任意a∈S，存在负元-a∈S，满足a⊕(-a)=(-a)⊕a=e。（可以证明，只要存在，必然唯一。只要构造(-a)1⊕a⊕(-a)2，根据负元定义与结合律即可得到）。

5. 运算是交换的，即a⊕b=b⊕a。

事实上，如果满足前两个，(S,⊕)称为半群；满足前四个，(S,⊕)称为群。群是描述对称性的最有力工具，是现代数学和物理学的基础。两百年法国大数学家、天才Evariste Galois（埃瓦里斯特·伽罗瓦）在十几岁的时候系统地建立群-环-域的体系，并提出了伽罗瓦理论，完美地解决了困扰人类上千年的化圆为方、立方倍积、三等分角、五次以上求根公式等问题。可惜的是他后来为了爱情决斗而死，年仅21岁。

可以看到，({True,False},xor)是构成阿贝尔群的。

整数

现在我们考查(N,+)，加法是具备结合律和交换律的，还有零元，也就是说(N,+)已经是个含零元的交换的半群了，离阿贝尔群仿佛只差了那么一点点——负元。

于是我们代数的定义这些形式元素，也就是负整数，与正整数一起构成整数。

我们一步一步地说明，首先我们可以定义自然数的减法（大减小）：如果a≤b，则定义满足a+c=b的c为c=b-a。减法的存在性根据上一篇文章不等号的定义是显然的，唯一性请读者自行证明（提示：可以假设有两个，然后证明其有着相同的后继，采用Peano公理说明相等）。

我们形式的定义对任意n∈N∖{0}构造-n，并将全部-n构成的集合记作Z-。

我们记Z=N∪Z-，称之为整数集合。

我们定义整数的加法如下：（为表示区别，+Z为整数加法，+N为自然数加法，-表示前述定义了的大减小的整数加法）

                  a +N b                 a,b均为自然数

                  a-(-b)         a为自然数,b不是自然数,a≥(-b)

a+zb=  -((-b)-a)                 a为自然数,b不是自然数,a<(-b)

                 -b +z a                 a不是自然数,b为自然数

                 -((-a) +N (-b))                 a,b均不是自然数

至此，整数关于加法，构成了阿贝尔群。

正有理数

自然数关于乘法仿佛也有很好的性质，但是如果我们也想把它做成阿贝尔群，就会有一个问题——显然这里的“零元”（或者说单位元）应该是1，而0⋅x=1这个方程我们倾向于没有解（事实上这里是有问题的，一些数学家一样引入了形式的定义，但这里不做展开）。所以我们只考查Z+=N∖{0}如何与乘法做成阿贝尔群。

首先我们固定“零元”为1，那么就得对每个n≠1构造“负元” 1/n ——当然，仍然是形式上的。我们需要定义乘法，虽然n⋅1/n =1/n ⋅n=1已经有了，但是还要考虑  1/n ⋅m这种问题。我们可以形式的定义 

然后说形如 m/n 的数字构成正有理数Q+，并且定义整个正有理数上的乘法⋅Q

至此一切都是良定义的，但是你会发现 4/1、4/2、6/9 这样的“正有理数”——其实按照我们的构造方法，可从来没说 4/1=4、4/2=2、6/9=2/3  哦。

但是为了符合人的常识，我们额外要求

这样我们就有了阿贝尔群(Q+,⋅)，为正有理数与乘法构成的。

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