科普驿站 第八十二期
科目：数学
难度：B1
讲师：萌萌哒小西瓜
第一部分：自然数
本系列科普文章就是特别为大家所编写的，面向高中生与非数学专业的大学生，介绍我们仿佛很熟知却其实也很陌生的数字——自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数。与一般的科普不同，我在本系列文章的介绍中会进行一些深入的探讨、包含一部分证明，而不是简单的结论的展示（因为这些结论在中小学课程中已经广为人所熟知）。在阅读本系列文章前，有一个前置知识需要掌握：集合。集合也是构建整个现代数学的基础。
在本系列文章中，我们将穿插入数学的三大结构——代数结构、序结构、拓扑结构。作为科普，本系列文章不要求读者先前学过这些知识，只是以数这个“简单”的例子让读者对这些深入的数学内容进行一定的浅层次思考，引导读者去发现贯穿数学各个分支的结构之美。
什么是自然数？
我想，所有人看到这个问题，都会说：“西瓜，我知道啊，小学一年级就学过，自然数嘛，0、1、2、3、4、5……”。（曾经有一些课本认为0不是自然数，这个属于历史问题不做详细讨论。）可是如果问一下严格的定义，我相信今天绝大多数接受过高等教育的同学也会支支吾吾说不清楚。
翻开小学教材，都会这么说：“形如0、1、2、3、4、5的为自然数”——显然这不是一个严格定义。事实上，也许在几十万年甚至几百万年之前，当人类刚刚诞生，指着树上的苹果一个个数1、2、3的时候，自然数就已经出现了，但是真正给出严格定义的却是在1889年——至今只有一百多年的历史。那一年，意大利大数学家Giuseppe Peano（朱塞佩·皮亚诺）首先提出了自然数的五条公理，严格地定义了自然数，合称Peano公理：
1. 0是自然数（0∈N）
这说明自然数是存在的，至少不是空集。
2. 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a'，a'也是自然数
这条公理说明，自然数至少有一条链，并且显然是无限延长的。
3. 对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数
这条公理防止了树形结构的产生——比如说有3和3都是4的前驱，那么可以产生树状的分叉。至此，自然数只能是链条状的了——虽然还没有确定这个链条是一个方向延伸还是两个方向都能延伸，也没有告诉我们是否只有一根链条。
4. 0不是任何自然数的后继数
这条公理说明，至少0所在的链条是单方向无限延伸的——0就是起点。当然如果认为0不是自然数的，这里应该设置为1。
5. （数学归纳法）任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对自然数a'也真，那么，命题对所有自然数都真。
这条公理说明了自然数只有一根链条，也就是从0开始的链条。
如果用更数学化的语言，自然数N=(S,e,f)，其中S是所有自然数构成的集合，e是自然数0（公理1），f是映射f:S→S∖{e}，将x映射为x的后继（公理2和公理4），此外还需要满足：f为单射（公理3），以及如果A为S的子集，且有e∈A和∀a∈A,f(a)∈A，那么A=S（公理5）。
用符号表达为：
1. e∈S
2. (∀a∈S)(f(a)∈S)
3. (∀b∈S)(∀c∈S)((f(b)=f(c))→(b=c))（思考：为什么原先的当且仅当这里变成了→？提示：什么是映射？）
4. (∀a∈S)(f(a)≠e)
5. (∀A⊆S)(((e∈A)∧(∀a∈A)(f(a)∈A))→(A=S))
怎样构造自然数？
我们定义了什么叫自然数，但是我们还缺少一个实际的案例。德国大科学家John von Neumann（约翰·冯·诺伊曼）给了一个绝妙的构造。冯·诺伊曼是一个真正意义上的天才，有过目不忘的记忆能力与心算无穷级数的计算能力，在数学（集合、算子、测度、几何、博弈、运筹等）、物理学、经济学领域都有重大的贡献，在计算机领域更是划时代的伟大开拓者——冯·诺伊曼提出的存储程序的设想，将计算机从预设功能的计算器中解放出来，称为“冯·诺伊曼架构”，沿用至今。晚年冯·诺伊曼投入了生物的大坑研究起了脑科学，却没有太突出的成就。
冯·诺伊曼认为，0=∅，那么对于x∈N，定义后继f(x)=x∪{x}。列表说明：
0=∅
1=∅∪{∅}={∅}={0}
2={∅}∪{{∅}}={{∅},∅}={0,1}
3={{∅},∅}∪{{{∅},∅}}={{{∅},∅},{∅},∅}={0,1,2}
如果定义Card(A)代表集合A的元素个数，那么可以发现，Card(n)=n,∀n∈N。
如何定义自然数上的运算与关系？
在本文中，我们先只定义加法和乘法——尽管我们在小学就学过加减乘除四种运算——减法和除法我将在下一篇文章中用一个更高纬度的思路去介绍。
加法是一个二元函数，可以认为+:N×N→N（这里的×为集合的笛卡尔积）。简单地说就是有函数f(a,b)=a+b。在Peano算术系统中，加法只需要两个公理递归定义即可：
1. a+0=a
2. a+S(b)=S(a+b)，其中， S(x)代表x的后继。
例如
乘法也是一个二元函数，定义⋅:N×N→N，满足下述两个公理：
1. a⋅0=0
2. a⋅S(b)=a+(a⋅b)，其中， S(x)代表x的后继
例如
其实从上面两个例子能看出来，加法和乘法的交换律本身不是显然的，请读者自行证明（留做习题答案略）。此外，结合律就更加的不明显了，但是分配律却相对显然些（都请读者自行证明）。
此外，对a,b∈N，我们定义a≤b当且仅当∃c∈N，a+c=b。
显然，≤关于+和⋅是稳定的，即如果a≤b，那么a+c≤b+c（由交换律和结合律）、a⋅c≤b⋅c（由分配律），当然现在还都局限在自然数集上，也就是说a,b,c∈N。
【本文为耀星会作者的原创作品，未经允许，禁止盗用、转载、篡改文章，否则耀星会和作者将追究版权责任。】
![[s-3]](https://www.bokeyuan.net/pic/image/emoji/cas/3.png)
