误差分析

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hi 人类

我们知道，当x^2i收敛时，幂级数

如果令x=sinθ，则有

即sin²θ sin⁴θ sin⁶θ …=(1-cos²θ)-1=tan²θ,sinθ≈θ，所以我将θ与sinθ代换，即

θ²＋θ⁴＋θ⁶＋θ⁸＋…≈(1/cos²θ)-1＝tan²θ.

然后就有一个题:

若θ＝π/100,求cosθ和tan²θ的近似值.

这里我先说明一下，为什么当θ足够小时(θ＜π/36=5º)可认为sinθ≈θ,和那个常用幂级数,当然，证明的时候我尽量选取脍炙人口的方法:

①sinθ≈θ

方法一：

由泰勒公式得：

sinθ＝θ-(θ³/3!) (θ⁵/5!)-(θ⁷/7!) …

其中n!=1×2×3×4×…×n

显然当θ足够小可以取θ≈sinθ.

方法二：

sinθ与θ是同阶无穷小，即sinθ/θ在θ→0时，它的极限等于1，所以当θ足够小时，可取sinθ＝θ

②∑下标i=1，上标∞，代数式sin²ⁱθ＝1/cos²θ-1＝tan²θ

方法一（几何，这里相当于给等比数列求和极限找了一个几何表示）：

三角形朝一个方向无限做高，把分成的所有小三角形加一起来与原三角形面积相等，进行化简（它们都相似所以它们面积有规律）

（就像这样，不断朝一个顶点方向做垂线，垂线会越来越密集）

方法二（代数）：

首先

an=sin²ⁿθ

Sn＝((an)q-a₁)/q-1

即Sn=(sinθ)^(2n＋2)-sin²θ/sin²θ-1

数列收敛，所以可取极限

n→∞，

Sn=sin²θ/1-sin²θ

=1-cos²θ/cos²θ=(1/cos²θ)-1

＝sin²θ/cos²θ

=tan²θ.

好了，序言讲完，接下来就是做题过程（你们先试着做一下，不全部算出来，用计算器算一下，并算一下误差）：

（1）cosθ:用计算机算得

cos(π/100)≈0.999506560

i.∵cos²θ sin²θ=1

  ∴cos(π/100)=√(1-sin²(π/100))≈√(1-(π-100)²)

可用计算机算一下

约等于0.999506398

这里误差为1.62×10⁻⁷

ⅱ.∵θ² θ⁴ θ⁶ …≈(1/cos²θ)-1

   ∴cos(π/100)≈√(1/1 (π/100)² (π/100)⁴ (π/100)⁶ …)

我们先取第一项θ²

   即cos(π/100)≈√(1/1 (π/100)²)

                        ≈0.999506885

误差3.25×10⁻⁷

      第二项θ⁴

      同理得cos(π/100)≈0.999506398

误差为1.62×10⁻⁷

        此时我们的值居然和第一种方法惊人的一致，可以看出法一在这里明显要简单一点，当然，他们之间有没有什么关系，可以用数学软件作图探究（求和本来就是一种函数）

(2)tanθ

tan(π/100)≈0.031426266

i.∵sin²θ/cos²θ=tan²θ,sin²θ cos²θ=1

  ∴

tan(π/100)≈√（(π/100)²/1-(π/100)²）

                 ≈0.031431441

    误差ε₁=5.175×10⁻⁵

ⅱ.由上述可知

tan(π/100)≈√((π/100)² (π/100)⁴ (π/100)⁶ …)

我们可以分别取项算

取一项ε₂=1.034×10⁻⁵

取两项ε₃=0.516×10⁻⁵

取三项ε₄=0.518×10⁻⁵

取四项ε₅=0.518×10⁻⁵

从这里可以看出，第二种方法显然比第一种方法估算精确形式也简单

但是，第二种方法在第二项的时候却是估值最精确的，第三项第四项要比它大，这里可以用重要不等式x＞sinx(x∈[0,1])来解释,该不等式可以构造函数求导证明

所以当取的项越多，误差越大，最终会不会比ε₁还要大呢？

这个问题就由读者自己回答了。

谢谢大家！