通俗易懂聊薛定谔方程

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Lv.7顶夸克

冯·诺依曼

前⼏天有⼏位朋友说薛定谔的⽅程式是怎么来的，这⾥我以我的思路来简单地推导出薛定谔的⽅程，其实推导有⼏种⽅法，不过我⽐较喜欢这种推导形式，我觉得这看起来⽐较直观，我们知道既然ψ（x，t）是波函数，那么它应该满⾜⼀个波动⽅程，薛定谔在⾮相对论情况下得到了⼀个ψ（x，t）所应满⾜的⽅程，称为薛定谔⽅程，利⽤⾃由电⼦的平⾯波函数ψ（x，t）＝Aexp（ikx-iωt），我们尝试得到薛定谔⽅程，先对时间求导⼀次得：aψ/at＝-iωψ＝-iEψ/h（普朗克的⾓频率转化⽽来的）。我们再对空间取⼆阶导数，并利⽤拉普拉斯算符▽²（读成Nebla也⾏）及德布罗意关系p＝hk（这公式的来源⾮常简单，是p＝nh/λ），得▽²ψ＝-p²ψ/h²利⽤⾮相对论能动关系我们⼜有：E＝p²/2m（这个公式⾮常重要，⽤动能和动量的关系来⾃⼰推导出来吧，⾮常简单）得：-h²▽²ψ/2m＝ih.аψ/аt这就是⾃由电⼦遵从的⽅程，设外加势场为U（x，t），导出⼀般形式的薛定谔⽅程有：E＝p²/2m＋U（x，t），得：ihаψ/аt＝（-h²▽²/2m＋U）ψ＝Hψ这就是含时薛定谔⽅程，其中H称为哈密顿算符，当外场不随时间⽽变时其波函数可写为Ψ（x，t）＝ψ（x）f（t），代⼊薛定谔⽅程中：-h²▽²ψ（x）/2m＋Uψ（x）f（t）＝ihdf/dt⽤ψ（x）f（t）遍除上式各项，得：［-h²▽²ψ（x）/2m ＋U（x）ψ（x）］/ψ（x）＝（ih/f）（df/dt）此式左边只是空间坐标的函数，看右边的话它只是时间坐标的函数，两者相等要求等于同⼀个常数记为E.有：（ih/f）df/dt＝E这个⽅程的通解为f（t）＝exp（-iEt/h），可见E具有能量量纲，正是系统能量的可能取值。第⼆个⽅程即为Hψ＝Eψ称为定态薛定谔⽅程，可见，当外场不随时间变化时Ψ（x，t）＝ψ（x）exp（-iEt/h），这样的状态称为定态，定态解重要的是ψ（x），⽽exp（-iEt/h）只是⼀个相因⼦，不改变模长，因此系统的概率分布不随时间⽽变，这正是定态的意义，常将ψ（x）称为定态波函数，但ψ本⾝指的是概率幅！